Blog Proyecto Klein

Los autores originales son Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello y Susanna Epp.

El traductor del artículo al español es Pablo González Mazón (alumno de matemáticas, Universidad de Cantabria, Santander, España)

Estudiar la evolución de un fenómeno natural a menudo conduce al estudio de sucesiones numéricas, especialmente de su comportamiento para términos elevados y a decidir si, finalmente, convergen. Las sucesiones polinómicas, exponenciales y logarítmicas aparecen frecuentemente en la educación secundaria, pero otras sucesiones, con definiciones muy simples, exhiben un comportamiento mucho más complejo. Ejemplos de ello son las caóticas sucesiones que surgen en el estudio de los sistemas dinámicos (ver [1]) y la sucesión de Siracusa (o sucesión ), propuesta por Luther Collatz en 1937. La sucesión de Siracusa ha desafiado a los matemáticos durante décadas. A pesar del enorme número de valores que han sido calculados, a día de hoy se sigue sin conocer si esta sucesión es infinita o si, por el contrario, es finita y termina siempre en (ver [2]).

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Autor original: Michèle Artigue.
Traducción: Tomás Recio, Universidad de Cantabria.

Los infinitésimos han jugado un papel clave en la emergencia y desarrollo del cálculo diferencial e integral. La evidente productividad de este cálculo no ha impedido que se produzcan debates recurrentes y, a veces, feroces sobre la naturaleza de estos objetos (los infinitésimos) y sobre la legitimidad de su uso. A finales del siglo XIX, cuando la construcción de los números reales a partir de los números enteros y la definición moderna del limite proporcionaron fundamentos sólidos al cálculo diferencial e integral, los infinitésimos, y la metafísica que los rodeaba, fueron rechazados y su uso se volvió sinónimo de prácticas poco rigorosas, ya superadas. Sin embargo el lenguaje de los infinitésimos siguió siendo utilizado, por ejemplo, en la física; e incluso en las matemáticas nunca desapareció por completo del discurso informal, del pensamiento heurístico de muchos investigadores.

¿Es, pues, este lenguaje realmente incompatible con el rigor matemático? ¿Qué es lo que ofrece, interesante o específico, que explique su permanencia? El Análisis no estándar, que se desarrolló en el siglo XX, ha permitido responder a estas preguntas y, a los infinitésimos, tomarse su revancha.

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Autor original: Christiane Rousseau.
¿Cómo se mide el tamaño de un objeto geométrico? Para subconjuntos del plano habitualmente se usan el perímetro, al longitud, el área, el díametro, etc. Pero esto no es suficiente para describir los fractales. Los fractales son objetos geométricos muy complejos y deberíamos tener una manera de medir esa complejidad. Con este fin los matemáticos han introducido el concepto de dimensión. El concepto de dimensión proporciona una medida de la complejidad de un fractal. La noción de dimensión es una generalización y una formalización de nuestra idea intuitiva de dimensión cuando hablamos de 1D, 2D o 3D. En esta viñeta discutiremos varioas maneras de describir objetos fractales a trevés de dos ejemplos: la alfombra de Sierpinski y el copo de nieve de von Koch (ver figuras a la izquierda). Continue reading →

Autor original: Christiane Rousseau.
¿Cuál es el empaquetamiento de esferas más denso? Kepler conjeturó que era el que se puede ver en las naranjas en cualquier frutería, denominado red cúbica centrada en las caras (Figura 1, a la izquierda). En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert impartió una conferencia muy famosa en la cual enunció 23 problemas que tendráin gran relevancia para el avance de las matemáticas en el siglo XX. El problema del empaquetamiento de esferas más denso, también conocido como conjetura de Kepler, es parte del 18º problema de Hilbert. La conjetura de Kepler fue probada en 1998 por Thomas Hales y los detalles de la demostración se publicaron en 2006.

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Autor original: Christiane Rousseau.
Cambiar demasiados números en documentos financieros puede resultar arriesgado si uno no conoce ciertas matemáticas. Muy a menudo, los números que aparecen en este tipo de documentos siguen cierta regla matemática, llamada ley de Benford o ley del primer dígito significativo. Si uno se olvida de seguir la regla, entonces los números no pasarán ciertos tests estadísticos y es probable que sean examinados con detenimiento por un hipotético agente fiscal. La ley de Benford afirma que si se toman números aleatoriamente y se calculan las frecuencias de sus primeros dígitos significativos, los números con primer dígito significante representarían el %, mientras que los números con primer dígito significante representarían el %. Esta regla se observa en otros muchos conjuntos de números, como las potencias de o los números de Fibonacci.

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Autor original: Christiane Rousseau.

En esta viñeta mostramos cómo descubrir, comenzando con un pequeño juego, uno de los teoremas más potentes de las matemáticas: el teorema del punto fijo de Banach. Este teorema tiene fantásticas aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. En la sección 3 discutiremos su fascinante aplicación a la compresión de imágenes.

Pero comencemos con nuestro juego y echemos una mirada a la famosa tapa de una caja de La vaca que ríe.

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Autores originales: Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Steven Galbraith (University of Auckland) y Edoardo Persichetti (University of Auckland).

¿Cómo podemos enviar de manera segura los datos de nuestra tarjeta de crédito a través de internet o utilizando un teléfono móvil cuando otros pueden interceptar nuestros mensajes? ¿Cómo podemos confiar en las actualizaciones de software sabiendo lo comunes que son los virus en los ordenadores? La criptografía (el estudio de técnicas para la comunicación segura en presencia de enemigos) proporciona respuestas a estas preguntas y tiene sus cimientos en las matemáticas.

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Versión original escrita por Christiane Rousseau.

Desde sus comienzos, Google se convirtió en “el” motor de búsqueda. Esto es debido a la supremacía de su algoritmo de jerarquización: el algoritmo PageRank. De hecho, debido a la enorme cantidad de páginas web en la World Wide Web, muchas búsquedas finalizan con miles o millones de resultados. Si estas páginas no estuvieran adecuadamente ordenadas, la búsqueda no sería de ninguna utilidad, ya que nadie es capaz de explorar millones de entradas. Continue reading →