Site du mois: CultureMATH

culturMATHSite du mois de Mars: CultureMATH

CultureMATH est un site dédié à la formation des professeurs de mathématiques du secondaire. Les articles publiés présentent des notions mathématiques du programme scolaire dans l’objectif de les revisiter, de les présenter d’une manière plus approfondie. D’autres ressources sont diposnibles : des expériences pédagogiques, des exemples de résolution de problèmes (afin de présenter la diversité des procédures), et les questions du jeudi (énigmes).

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La revanche des infinitésimaux

Vignette écrite par Michèle Artigue.

Les infinitésimaux ont joué un rôle essentiel dans l’émergence et le développement du calcul différentiel et intégral. La productivité évidente de ce calcul n’empêcha pas cependant des débats récurrents et parfois féroces sur la nature de ces objets et la légitimité de leur usage. A la fin du 19ème siècle, quand la construction des nombres réels à partir des entiers, la définition moderne de la notion de limite, eurent fourni des fondations solides au calcul différentiel et intégral, les infinitésimaux et la métaphysique qui les avait entourés furent rejetés et leur usage perçu synonyme de pratiques peu rigoureuses désormais révolues. Pourtant, le langage des infinitésimaux continua à être utilisé par exemple en physique et, même en mathématiques, il n’a jamais complètement disparu du discours informel, de la pensée heuristique de nombre de chercheurs.

Alors ce langage est-il réellement incompatible avec la rigueur mathématique ? Et qu’offre-t-il d’intéressant, de spécifique qui explique sa permanence ? L’Analyse non standard développée au 20ème siècle a permis de répondre à ces questions, et aux infinitésimaux de prendre leur revanche.

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Cryptographie à clé publique

Vignette écrite par Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Steven Galbraith (University of Auckland) et Edoardo Persichetti (University of Auckland).
How can we safely send our credit card details over the internet, or using a mobile phone, when others can intercept our messages? How can we trust software updates, when we know that computer viruses are common? Cryptography (the study of techniques for secure communication in the presence of adversaries) provides answers to these questions, and mathematics provides its foundations.

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De la Récurrence à l’Induction

Vignette écrite par Michèle Artigue et Ferdinando Arzarello.
Un quadrillage fait de carrés étant donné, il est facile de construire des carrés dont tous les sommets sont des nœuds du quadrillage. Mais est-ce possible pour d’autres polygones réguliers, par exemple pour un octogone ? La réponse est : « Non » et on peut le démontrer, pour l’octogone, de la façon suivante (Payan, 1994) :

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Coloration de Cartes et Bases de Gröbner

Cette image est la propriété de mathscareers.org.uk, qui a aimablement autorisé son utilisation pour cet article.

Vignette écrite par Escudeiro Hernandes.
D’après le célèbre “théorème des quatre couleurs”, seulement quatre couleurs sont nécessaires pour colorier une carte sans que deux régions adjacentes aient la même couleur. En utilisant des équations polynomiales et les bases de Gröbner, nous pouvons déterminer si trois couleurs sont suffisantes pour colorier une carte donnée.

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La loi de Benford: Apprendre à frauder ou à détecter les fraudes?

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Il est vraiment risqué de modifier trop de nombres dans un document financier si on ne s’y connaît pas en mathématiques. En effet, dans de tels documents les nombres suivent souvent une règle mathématique étrange appelée loi de Benford, ou loi des nombres anormaux. Si on oublie de suivre cette règle les nombres échoueront des tests statistiques et seront alors étudiés avec soin. La loi de Benford assure que si vous collectez aléatoirement des nombres et calculez les fréquences de leur premier chiffre non nul, alors 30% des nombres devraient avoir 1 comme premier chiffre non nul, alors que seulement 4.5% des nombres devraient avoir 9 comme premier chiffre non nul. Cette règle peut être observée dans de nombreux ensembles de nombres, comme les puissances de 2 ou la suite de Fibonacci.

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Le conte des deux triangles: triangles de Héron et courbes elliptiques

Vignette écrite par William Mc Callum.
Si deux triangles ont la même aire et le même périmètre, sont-ils nécessairement isométriques? Il se trouve que la réponse est non. Par exemple, le triangle ayant des cotés de longueurs 3, 4 et 5 a la même aire et le même périmètre que le triangle ayant des cotés de longueurs  41/15, 101/21 et 156/35.

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Dimensions supérieures

Figure 1: Illustration d'une variété de Calabi-Yau (Importante pour la description des modèles de dimension supérieures en théorie des supercordes).

Vignette écrite par Markus Ruppert et Hans-Georg Weigand.
1. A la recherche de la prochaine dimension
Notre monde a-t-il réellement plus de trois dimensions? Dans ce cas, les objets de dimensions supérieures ont-ils un lien avec le monde qui nous entoure? Est-il possible de percevoir ces objets ou échappent-ils à toute représentation? La théorie de la relativité utilise quatre dimensions pour expliquer le concept d’espace-temps, six dimensions sont nécessaires pour décrire la courbure de l’espace-temps et les différentes théories des cordes utilisent même des espaces à 26 dimensions (e.g. L. Botelho, R. Botelho, 1999). Un autre domaine courant d’application des objets de dimensions supérieures et leurs représentations tridimensionnelles est l’étude des structures non périodiques en cristallographie moderne. Dans le concept des quasi-cristaux, les projections d’ensembles de points de dimensions supérieures (comme le réseau d’entiers en dimension 5) dans des espaces tridimensionnels sont censés être de bons modèles pour les structures cristallines non-périodiques (voir le paragraphe 5 ci dessous).

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Comment empiler des oranges? — La conjecture de Kepler sur l’empilement des sphères

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Quel est l’empilement de sphères le plus dense? Kepler a conjecturé que c’est celui des oranges empilées que l’on peut observer sur les étales des magasins de fruits et légumes, et qui est appelé empilement cubique à faces centrées (Figure 1). Au Congrès International des Mathématiciens de 1900, David Hilbert a prononcé une conférence célèbre dans laquelle il a énoncé une liste de 23 problèmes qui marqueraient les mathématiques du 20-ième siècle. Le problème d’identifier l’empilement de sphères le plus dense, aussi appelé conjecture de Kepler, fait partie du 18-ième problème de Hilbert. La conjecture de Kepler n’a été démontrée qu’en 1998 par Thomas Hales, et les détails de la preuves ont été publiés en 2006.

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Les suites de Goodstein ou la puissance du détour par l’infini

Vignette écrite par Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello et Susanna Epp.
Etudier l’évolution de phénomènes conduit souvent à étudier des suites numériques, à s’interroger sur leurs types de croissance, et sur leur convergence éventuelle. Les exemples de croissance rencontrés dans l’enseignement secondaire sont en général des croissances polynomiales, exponentielles ou logarithmiques. Mais des suites, même définies de façon très simple, peuvent avoir des comportements complexes comme le montrent les suites chaotiques de la théorie des systèmes dynamiques (Perrin, 2008). Et des suites définies de façon très simples, dont on a calculé des millions de termes, peuvent être source de questions qui défient les mathématiciens depuis plusieurs décennies. Ainsi en est-il par exemple de la question de savoir si les suites connues comme suites « 3n+1 » ou suites de Syracuse introduites par Luther Collatz en 1937, finissent ou non toujours par atteindre la valeur 1 (http://arxiv.org/abs/math/0608208v5).

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