Matrices et Images Numériques

Vignette écrite par Dirce Uesu Pesco et Humberto José Bortolossi.
Les images publiées sur les sites internet et les photographies prises avec un téléphone portable sont des exemples d’ images numériques. Il est possible de représenter ce type d’ image par des matrices. Par exemple, la petite image de Félix le Chat peut être représentée par une matrice de taille 35 \times 35 dont les éléments sont des 0 et des 1. L’ élément indique la couleur du pixel : 0 pour un pixel noir et 1 pour un pixel blanc (un pixel est le plus petit élément graphique d’une image matricielle, qu ine peut prendre qu’une seule couleur à la fois). Les images numériques qui n’ utilisent que deux couleurs sont appelées images binaires ou images booléennes.

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Banach et son microscope à trouver des points fixes

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Dans cette vignette, nous allons découvrir, en commençant avec un petit jeu, l’un des plus puissants théorèmes des mathématiques, à savoir le théorème du point fixe de Banach. Ce théorème a de fantastiques applications aussi bien en mathématiques que dans d’autres domaines. Dans la troisième partie de cet article nous verrons une fascinante application en compression d’images.

Mais commençons avec notre jeu, et regardons de plus près le couvercle d’une boîte de Vache Qui Rit.

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Vote équitable: la quête de l’or

Vignette écrite par Gabriel Rosenberg et Mark Iwen.
C’est un fait peu connu que deux médailles d’or ont été attribuées à l’épreuve de patinage artistique des jeux Olympiques d’hiver de 2002. Ces deux médailles ont finalement été le résultat d’un vote litigieux qui débuta avec la défaite du couple favoris du public. Le scandale autour de cette décision a été si grand que le Comité international olympique (COI) a finalement dû accorder une deuxième médaille d’or au couple arrivé second en patinage artistique afin d’apaiser le scandale. Le système de vote pour décider quels patineurs méritent quelles médailles a également été modifié (NB: Avant 2003 les juges notaient individuellement les participants et utilisaient ces résultats pour classer les athlètes. Ces classements (et non les scores) étaient combinés pour attribuer les récompenses).

Imaginez que vous soyez au COI en 2003 et que la tâche de développer un meilleur système de vote pour juger les compétitions de patinage artistique à venir vous a été attribuée. Quel système de vote choisiriez-vous pour classer les patineurs? Comment pourriez-vous vous assurer que que le système de vote est équitable? Évidemment les mathématiques peuvent nous aider à répondre à ces questions! Continue reading

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Dimension

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Comment mesurer la taille d’un objet géométrique ? Pour décrire des sous-ensembles du plan, nous utilisons couramment les mots de périmètre, de longueur, d’aire, de diamètre, etc. Mais ils ne suffisent pas lorsqu’on veut décrire les fractales. Les objets fractals sont des objets géométriques très complexes et nous devons trouver un moyen de quantifier leur complexité. C’est dans ce but que les mathématiciens ont introduit le concept de dimension. La dimension permet de mesurer la complexité d’une fractale. Cette notion de dimension est une généralisation et une formalisation de notre notion intuitive de dimension, lorsque nous parlons de dimension 1, 2 ou 3. Nous allons parler de plusieurs moyens de décrire les objets fractals, en examinant deux exemples : le triangle de Sierpinski et le flocon de von Koch (voir figure ci-contre). Continue reading

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Comment Google fonctionne: chaînes de Markov et valeurs propres

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Depuis ses débuts, Google a été “le” moteur de recherche. Ceci est dû à la domination de son algorithme PageRank. En effet, avec l’énorme quantité de pages sur internet, beaucoup de recherches aboutissent à des milliers ou des millions de résultats. Si ceux-ci ne sont pas bien ordonnés, alors la recherche peut n’être d’aucune aide, puisque personne ne peut explorer des millions d’entrées. Continue reading

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