Klein Project Blog

Autori originali sono Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello e Susanna Epp.

Studiare l’evoluzione di un fenomeno natu- rale spesso conduce a studiare successioni numeriche, specialmente il loro comportamento a lungo termine e se esse alla fine convergono. Le successioni polinomiali, esponenziali e logaritmiche si incontrano frequentemente nella scuola secondaria, ma alcune altre successioni
con definizioni molto semplici mostrano un comportamento molto più complesso. Alcuni esempi includono le successioni caotiche che emergono nello studio dei sistemi dinamici (si veda [1]) e la successione di Siracusa (o successione ), introdotta da Luther Collatz nel 1937. La successione di Siracusa ha messo in difficoltà i matematici per decenni. Nonostante il gran numero di valori che sono stati calcolati, è sconosciuto ancora oggi se la successione sia infinita o finita e se termini sempre in (si veda [2]).

Le successioni considerate in questa vignette sono state introdotte dal logico inglese R. L. Goodstein nel 1944 (si veda [3]) e mostrano un tipo diverso di comportamento insolito. I valori iniziali aumentano così rapidamente che siamo portati a credere che essi tendano ad infinito, ma, sorprendentemente, essi finiscono sempre per decrescere e infine raggiungono lo zero. Dimostrare questo risultato richiede una generalizzazione del principio di buon ordinamento per gli interi (si veda [4]) ai numeri transfiniti, ma l’idea di base non è difficile da comprendere. Per spiegarla, seguendo Hodgson (si veda [5]), introduciamo prima una successione, detta successione di Goodstein debole, che è più semplice ma strettamente legata ad una successione di Goodstein.

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Figura 1: Illustrazione di una varietà di Calabi-Yau (Importante per la descrizione di modelli di dimensione più alta nella teoria delle superstringhe).

Autori originali sono Markus Ruppert e Hans-Georg Weigand.

1. Alla ricerca della dimensione successiva
Il nostro mondo ha davvero più di tre dimensioni? Se è così, gli oggetti in una dimensione superiore hanno una relazione con il mondo intorno a noi? È possibile percepire questi oggetti o sono lontani da una qualunque rappresentazione? La Teoria della Relatività usa quattro dimensioni per spiegare il concetto di spazio-tempo, sei dimensioni sono necessarie per descrivere la curvatura dello spazio-tempo e diverse teorie delle stringhe usano persino rappresentazioni fino a 26 dimensioni (e.g. L. Botelho, R.Botelho, 1999).

Un altro dominio attuale di applicazione per oggetti in dimensione superiore e per le loro rappresentazioni tridimensionali è lo studio delle strutture non-periodiche nella cristallografia moderna. All’interno del concetto dei quasicristalli si suppone che le proiezioni di insiemi di punti di dimensione superiore (come il lattice intero in dimensione 5) nello spazio tridimensionale siano buoni modelli per strutture cristalline non-periodiche (si veda, sotto, la sezione 5).

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Autore originario é Christiane Rousseau.

In questa vignette, mostreremo come, partendo da un piccolo gioco, si giunge a scoprire uno dei più potenti teoremi della matematica, ovvero il teorema del punto fisso di Banach. Tale teorema ha sorprendenti applicazioni all’interno della matematica e al di fuori di essa. Nella terza sezione discuteremo l’affiascinante applicazione alla compressione di immagini.

Ma, partiamo con il nostro gioco e osserviamo il famoso coperchio della scatola di The Laughing Cow.

L’orecchino destro della mucca e di nuovo una Laughing Cow. Ad ogni punto del coperchio, associamo il punto corrispondente sull’orecchino destro. Questa è naturalmente una funzione dal coperchio in se stesso, che chiameremo F. Per esempio, alla punta del mento della mucca associamo la punta del mento della piccola mucca sull’orecchino destro. Al centro dell’occhio destro della mucca associamo il centro dell’occhio destro della piccola mucca sul- l’orecchino destro, ecc. Ora ecco la domanda: esiste un punto che viene mandato in se stesso attraverso questo procedimento? Tale punto, se esiste, sarà detto punto fisso. Se esiste un punto fisso, allora non è nessuno dei punti che abbiamo elencato sopra. Inoltre, se esiste un punto fisso, esso dovrebbe giacere sull’orecchino destro. Tuttavia, tale orecchino destro viene mandato nell’orecchino destro della piccola mucca, e così via. Visivamente, possiamo constatare che questi orecchini destri contenuti uno dentro l’altro sembrano convergere ad un punto, che chiamiamo , e è un candidato per la nostra soluzione.

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Autore originario é Christiane Rousseau.

Come si misura la grandezza di un oggetto geometrico? Per i sottoinsiemi del piano spesso ci serviamo del perimetro, della lunghezza, dell’area, del diametro, ecc. Questi elementi non sono sufficienti per descrivere i frattali. Gli oggetti frattali sono oggetti geometrici molto complessi e dobbiamo trovare un modo per quantificare la loro complessità.
A tal proposito, i matematici hanno introdotto il concetto di dimensione. La dimensione fornisce una misura della complessità di un frattale. La nozione di dimensione è una generalizzazione e formalizzazione della nostra intuitiva nozione di dimensione quando parliamo di 1D, 2D o 3D. Discuteremo alcuni modi di descrivere gli oggetti frattali lavorando su due esempi: il tappeto di Sierpinski e il fiocco di von Koch (si vedano le figure a lato).

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Questa immagine è di proprietà di mathscanners.org.uk che ha gentilmente permesso di usarla in questo lavoro.

Autore originario é Marcelo Escudeiro Hernandes.

Per il famoso “Teorema dei quattro colori”, abbiamo bisogno solo di quattro colori per colorare una mappa in modo che nessuna delle regioni confinanti abbia lo stesso colore. Usando equazioni polinomiali e basi di Gröbner possiamo determinare se tre colori sono sufficienti per una mappa specifica.

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