Matrizen und digitale Bilder

fig_felix_the_cat_face

Abb. 1

Übersetzt von Kira Katzenberger und Bettina Rösken-Winter (Ruhr-Universität Bochum)

Bilder, die man auf Internetseiten sehen kann, und Fotos, die mit dem Handy gemacht wurden, sind Beispiele für digitale Bilder. Es ist möglich, diese Art von Bildern durch Matrizen darzustellen. Zum Beispiel kann das kleine Bild von Felix der Katze (Abb. 1) dargestellt werden durch eine 35 \times 35 -Matrix, deren Einträge aus den Zahlen 0 und 1 bestehen. Diese Nummern geben die Farbe jedes Pixels an (ein Pixel ist das kleinste Element eines digitalen Bildes, das nur eine Farbe gleichzeitig annehmen kann): Die Zahl 0 kennzeichnet die Farbe Schwarz, die Zahl 1 kennzeichnet die Farbe Weiß. Digitale Bilder, die nur zwei Farben verwenden, werden binäre Bilder oder boolesche Bilder genannt.

Continue reading

Posted in Vignettes @de | Leave a comment

The shocking behaviour of moving fluids

Figure 1: The shock wave caused by a supersonic jet.

Originating authors are David Mumford and Christiane Rousseau.

Foreword: This vignette is more difficult than others. However, in a few pages, it tells you how to explain in simple terms one of the most difficult open problems at the beginning of the 21st century. The vignette contains enrichment material, that you can choose to read or skip. The editors of the Klein blog hesitated for a while posting this vignette. After testing it with teachers during two Klein workshops, who expressed that they enjoy being challenged by more difficult vignettes, they decided to test it on the blog. They are eager to hear your comments, and if some of you were motivated by this topic.

You have probably heard some planes breaking the sound barrier. What does that mean? It means that a shock wave in the atmosphere is created as in Figure 1. But what is a shock wave? Imagine heavy traffic on highways as a wave. A shock wave corresponds to collisions. To explain this, we develop our intuition with a 1D model: traffic on a one lane road at different speeds. You know that collisions could occur if drivers do not adjust their speed. The atmosphere is a fluid, and traffic is a rough model of 1D fluid which is convenient to develop our intuition. Under which conditions do shock waves or other singularities occur in fluids? A million dollar prize is offered for answering this question. This is what we are going to explain you.

Continue reading

Posted in Mathematics Within the Last 100 Years | Leave a comment

Come funziona Google: catene di Markov e autovalori

Christiane Rousseau.
Fin dall’inizio, Google è diventato il motore di ricerca. Ciò deriva dalla supremazia del suo algoritmo di ranking: l’algoritmo PageRank. Infatti, con l’enorme quantità di pagine sul World-Wide-Web, molti ricercatori si ritrovano con migliaia o milioni di risultati. Se essi non sono propriamente ordinati, la ricerca può risultare di poco aiuto, dal momento che nessuno riesce ad esplorare milioni di voci.

Continue reading

Posted in Vignettes @it | 1 Comment

Matrici e immagini digitali

Dirce Uesu Pesco e Humberto José Bortolossi.
Le immagini che si vedono sulle pagine internet e le foto che si fanno con il cellulare sono esempi di immagini digitali. É possibile rappresentare questo tipo di immagine usando le matrici. Per esempio, la piccola immagine di Felix il Gatto (sulla sinistra) può essere rappresentata da una matrice 35 \times 35 i cui elementi sono i numeri 0 e 1. Questi numeri specificano il colore di ciascun pixel (un pixel è il più piccolo elemento grafico di un immagine matriciale, che può assumere solo un colore per volta): il numero 0 indica il nero e il numero 1 indica il bianco. Le immagini digitali che usano solo due colori sono chiamate immagini binarie o booleane.

Continue reading

Posted in Vignettes @it | 1 Comment

La storia di due triangoli: i triangoli di Erone e le curve ellittiche

Originating author is William Mc Callum.
Se due triangoli hanno la stessa area e lo stesso perimetro, sono necessariamente congruenti? La risposta si rivela negativa. Per esempio, il triangolo con lati 3, 4 e 5 ha la stessa area e lo stesso perimetro del triangolo con lati 41/15, 101/21 e 156/35

Continue reading

Posted in Vignettes @it | Leave a comment

La legge di Benford: imparare a intercettare le frodi

Originating author is Christiane Rousseau.
È molto rischioso cambiare troppi numeri in certe affermazioni finanziarie se non si conosce un po’ di matematica. Infatti, molto spesso i numeri che compaiono in affermazioni finanziarie seguono una certa strana regola matematica, chiamata legge di Benford o legge della prima cifra significativa. Se non si segue la regola allora i numeri falliranno certi test statistici e sarà probabile che siano analizzati con cura.
La legge di Benford afferma che se si collezionano numeri in maniera casuale e si calcolano le frequenze delle loro prime cifre significative, i numeri con 1 come prima cifra significativa dovrebbero apparire circa il 30% delle volte, mentre i numeri con 9 come prima cifra significativa appaiono solo 4.5% delle volte. Questa regola si può osservare in molte altre serie di numeri come le potenze di 2 e i numeri di Fibonacci.

Continue reading

Posted in Vignettes @it | 1 Comment

Dimensión

Autor original: Christiane Rousseau.
¿Cómo se mide el tamaño de un objeto geométrico? Para subconjuntos del plano habitualmente se usan el perímetro, al longitud, el área, el díametro, etc. Pero esto no es suficiente para describir los fractales. Los fractales son objetos geométricos muy complejos y deberíamos tener una manera de medir esa complejidad. Con este fin los matemáticos han introducido el concepto de dimensión. El concepto de dimensión proporciona una medida de la complejidad de un fractal. La noción de dimensión es una generalización y una formalización de nuestra idea intuitiva de dimensión cuando hablamos de 1D, 2D o 3D. En esta viñeta discutiremos varioas maneras de describir objetos fractales a trevés de dos ejemplos: la alfombra de Sierpinski y el copo de nieve de von Koch (ver figuras a la izquierda). Continue reading

Posted in Vignettes @es | Leave a comment

Banach e seu microscópio para encontrar pontos fixos

Autor do original: Christiane Rousseau.
Neste artigo, começando com um pequeno jogo, vamos descobrir um dos mais potentes teoremas da matemática, a saber, o teorema do ponto fixo de Banach. Esse teorema tem aplicações maravilhosas tanto na matemática quanto em outras áreas. Na terceira parte deste artigo, veremos uma aplicação fascinante em compressão de imagens.

Vamos começar nosso jogo olhando mais de perto a famosa tampa de uma caixa de A Vaca Que Ri. (NT. A Vaca Que Ri é a marca de um queijo fundido comercializado em vários países, Brasil inclusive.)

Continue reading

Posted in Vignettes @pt-br | 1 Comment

¿Cómo se empaquetan las naranjas? — La conjetura de empaquetamiento de esferas de Kepler

Autor original: Christiane Rousseau.
¿Cuál es el empaquetamiento de esferas más denso? Kepler conjeturó que era el que se puede ver en las naranjas en cualquier frutería, denominado red cúbica centrada en las caras (Figura 1, a la izquierda). En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert impartió una conferencia muy famosa en la cual enunció 23 problemas que tendráin gran relevancia para el avance de las matemáticas en el siglo XX. El problema del empaquetamiento de esferas más denso, también conocido como conjetura de Kepler, es parte del 18º problema de Hilbert. La conjetura de Kepler fue probada en 1998 por Thomas Hales y los detalles de la demostración se publicaron en 2006.

Continue reading

Posted in Vignettes @es | Leave a comment

Uma história de dois triângulos: triângulos de Heron e curvas elípticas

Autor do texto original : William McCallum.
Se dois triângulos têm mesma área e mesmo perímetro, serão eles necessariamente congruentes? Vamos ver que a resposta é não. Por exemplo, o triângulo de lados 3, 4 e 5 tem a mesma área e mesmo perímetro que o triângulo de lados 41/15, 101/21 e 156/35

Continue reading

Posted in Vignettes @pt-br | Leave a comment