A Lei de Benford: aprendendo a fazer ou a detectar fraudes?

A autora original é Christiane Rousseau. A tradução para o Português é de Humberto José Bortolossi.
É muito arriscado ficar alterando números demais em relatórios financeiros se você não conhece matemática. De fato, a maioria dos números que aparecem em declarações financeiras seguem uma regra matemática estranha, denominada de Lei de Benford ou Lei do Primeiro Dígito Significativo. Se alguém se esquecer de seguir essa regra, então os números alterados não irão passar em alguns testes estatísticos e provavelmente eles cairão em uma malha fina. A Lei de Benford afirma que se você coletar números de forma aleatória e calcular as frequências de seus primeiros dígitos significativos, então os números com primeiro digito significativo igual a 1 aparecerão cerca de 30% das vezes, enquanto que os números com primeiro dígito significativo igual a 9 aparecerão somente 4.5% das vezes. Esta regra é observada em muitos outros conjuntos de números, como potências de 2 e os números de Fibonacci.

Continue reading

Posted in Vignettes @pt-br | 1 Comment

Public-key cryptography

Originating authors are Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Steven Galbraith (University of Auckland) and Edoardo Persichetti (University of Auckland).
How can we safely send our credit card details over the internet, or using a mobile phone, when others can intercept our messages? How can we trust software updates, when we know that computer viruses are common? Cryptography (the study of techniques for secure communication in the presence of adversaries) provides answers to these questions, and mathematics provides its foundations.

Continue reading

Posted in Mathematics Within the Last 100 Years | Leave a comment

A tale of two triangles: Heron triangles and elliptic curves

Originating author is William Mc Callum.
If two triangles have the same area and the same perimeter, are they necessarily congruent? It turns out that the answer is no. For example, the triangle with sides 3, 4, and 5 has the same area and perimeter as the triangle with sides 41/15, 101/21, and 156/35.

Continue reading

Posted in Mathematics Within the Last 100 Years | 5 Comments

Goodstein-Folgen: Die Kraft des Umweges über die Unendlichkeit

Die Autoren des englischen Artikels sind Michèle Artigue und Ferdinando Arzarello.
Die Analyse der Entwicklung eines Naturphänomens führt oft zur Untersuchung numerischer Folgen, insbesondere deren Langzeit-Verhalten und zu der Frage, ob sie eventuell konvergieren. Polynomiale, exponentielle und logarithmische Folgen werden häufig in weiterführenden Schulen behandelt, andere Folgen mit sehr einfachen Bildungsgesetzen zeigen dagegen ein viel komplexeres Verhalten. Beispiele sind die chaotischen Folgen, die bei der Untersuchung dynamischer Systeme auftreten (siehe [1]) und die Syrakus-Folge (oder 3n+1-Folge), die 1937 von Lother Collatz eingeführt wurde. Die Syrakus-Folge forderte Mathematiker über Jahrzehnte heraus. Trotz der riesigen Anzahl von Werten, die berechnet wurden, ist es zurzeit unbekannt, ob die Folge divergiert oder letztlich immer bei 1 endet (siehe [2]).

Continue reading

Posted in Vignettes @de | 1 Comment

Wie verpackt man Orangen? – Die Keplersche Vermutung über Kugelpackungen

Autorin: Christiane Rousseau.
Wie kann man gleich große Kugeln möglichst platzsparend auf- und nebeneinander legen? Kepler vermutete, dass die dichteste Kugelpackung diejenige ist, die man beim Obsthändler am Orangenstand sieht und die kubisch flächenzentriertes Gitter (Abb. 1) genannt wird. Auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress im Jahr 1900 formulierte David Hilbert 23 Probleme, deren Lösung den Fortschritt der mathematischen Wissenschaft im 20. Jahrhundert stark beeinflussen würde. Das Problem der dichtesten Kugelpackung, auch Keplersche Vermutung genannt, ist ein Teil von Hilberts 18. Problem. Die Keplersche Vermutung wurde 1998 von Thomas Hales bewiesen. Details dieses Beweises wurden allerdings erst 2006 veröffentlicht.

Continue reading

Posted in Vignettes @de | Leave a comment

Coloration de Cartes et Bases de Gröbner

Cette image est la propriété de mathscareers.org.uk, qui a aimablement autorisé son utilisation pour cet article.

Vignette écrite par Escudeiro Hernandes.
D’après le célèbre “théorème des quatre couleurs”, seulement quatre couleurs sont nécessaires pour colorier une carte sans que deux régions adjacentes aient la même couleur. En utilisant des équations polynomiales et les bases de Gröbner, nous pouvons déterminer si trois couleurs sont suffisantes pour colorier une carte donnée.

Continue reading

Posted in Français | Leave a comment

两个三角形的故事:海伦三角形和椭圆曲线


(王婷 译 李建华 校 北京师范大学数学科学学院)

Continue reading

Posted in 未分类 | Leave a comment

Historia de dos triángulos: triángulos de Herón y curvas elípticas

Versión original escrita por William Mc Callum.
Si dos triángulos tienen áreas y perímetros iguales, ¿han de ser congruentes? La respuesta resulta ser que no. Por ejemplo, un triángulo de lados 3, 4 y 5 tiene el mismo área y perímetro que un triángulo con lados 41/15, 101/21 y 156/35.

Continue reading

Posted in Vignettes @es | 1 Comment

La loi de Benford: Apprendre à frauder ou à détecter les fraudes?

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Il est vraiment risqué de modifier trop de nombres dans un document financier si on ne s’y connaît pas en mathématiques. En effet, dans de tels documents les nombres suivent souvent une règle mathématique étrange appelée loi de Benford, ou loi des nombres anormaux. Si on oublie de suivre cette règle les nombres échoueront des tests statistiques et seront alors étudiés avec soin. La loi de Benford assure que si vous collectez aléatoirement des nombres et calculez les fréquences de leur premier chiffre non nul, alors 30% des nombres devraient avoir 1 comme premier chiffre non nul, alors que seulement 4.5% des nombres devraient avoir 9 comme premier chiffre non nul. Cette règle peut être observée dans de nombreux ensembles de nombres, comme les puissances de 2 ou la suite de Fibonacci.

Continue reading

Posted in Français | Leave a comment

Le conte des deux triangles: triangles de Héron et courbes elliptiques

Vignette écrite par William Mc Callum.
Si deux triangles ont la même aire et le même périmètre, sont-ils nécessairement isométriques? Il se trouve que la réponse est non. Par exemple, le triangle ayant des cotés de longueurs 3, 4 et 5 a la même aire et le même périmètre que le triangle ayant des cotés de longueurs  41/15, 101/21 et 156/35.

Continue reading

Posted in Français | Leave a comment