Klein Project Blog

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Quel est l’empilement de sphères le plus dense? Kepler a conjecturé que c’est celui des oranges empilées que l’on peut observer sur les étales des magasins de fruits et légumes, et qui est appelé empilement cubique à faces centrées (Figure 1). Au Congrès International des Mathématiciens de 1900, David Hilbert a prononcé une conférence célèbre dans laquelle il a énoncé une liste de 23 problèmes qui marqueraient les mathématiques du 20-ième siècle. Le problème d’identifier l’empilement de sphères le plus dense, aussi appelé conjecture de Kepler, fait partie du 18-ième problème de Hilbert. La conjecture de Kepler n’a été démontrée qu’en 1998 par Thomas Hales, et les détails de la preuves ont été publiés en 2006.

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Vignette écrite par Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello et Susanna Epp.
Etudier l’évolution de phénomènes conduit souvent à étudier des suites numériques, à s’interroger sur leurs types de croissance, et sur leur convergence éventuelle. Les exemples de croissance rencontrés dans l’enseignement secondaire sont en général des croissances polynomiales, exponentielles ou logarithmiques. Mais des suites, même définies de façon très simple, peuvent avoir des comportements complexes comme le montrent les suites chaotiques de la théorie des systèmes dynamiques (Perrin, 2008). Et des suites définies de façon très simples, dont on a calculé des millions de termes, peuvent être source de questions qui défient les mathématiciens depuis plusieurs décennies. Ainsi en est-il par exemple de la question de savoir si les suites connues comme suites « » ou suites de Syracuse introduites par Luther Collatz en 1937, finissent ou non toujours par atteindre la valeur (http://arxiv.org/abs/math/0608208v5).

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Vignette écrite par Dirce Uesu Pesco et Humberto José Bortolossi.
Les images publiées sur les sites internet et les photographies prises avec un téléphone portable sont des exemples d’ images numériques. Il est possible de représenter ce type d’ image par des matrices. Par exemple, la petite image de Félix le Chat peut être représentée par une matrice de taille dont les éléments sont des et des . L’ élément indique la couleur du pixel : pour un pixel noir et pour un pixel blanc (un pixel est le plus petit élément graphique d’une image matricielle, qu ine peut prendre qu’une seule couleur à la fois). Les images numériques qui n’ utilisent que deux couleurs sont appelées images binaires ou images booléennes.

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Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Dans cette vignette, nous allons découvrir, en commençant avec un petit jeu, l’un des plus puissants théorèmes des mathématiques, à savoir le théorème du point fixe de Banach. Ce théorème a de fantastiques applications aussi bien en mathématiques que dans d’autres domaines. Dans la troisième partie de cet article nous verrons une fascinante application en compression d’images.

Mais commençons avec notre jeu, et regardons de plus près le couvercle d’une boîte de Vache Qui Rit.

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Vignette écrite par Gabriel Rosenberg et Mark Iwen.
C’est un fait peu connu que deux médailles d’or ont été attribuées à l’épreuve de patinage artistique des jeux Olympiques d’hiver de 2002. Ces deux médailles ont finalement été le résultat d’un vote litigieux qui débuta avec la défaite du couple favoris du public. Le scandale autour de cette décision a été si grand que le Comité international olympique (COI) a finalement dû accorder une deuxième médaille d’or au couple arrivé second en patinage artistique afin d’apaiser le scandale. Le système de vote pour décider quels patineurs méritent quelles médailles a également été modifié (NB: Avant 2003 les juges notaient individuellement les participants et utilisaient ces résultats pour classer les athlètes. Ces classements (et non les scores) étaient combinés pour attribuer les récompenses).

Imaginez que vous soyez au COI en 2003 et que la tâche de développer un meilleur système de vote pour juger les compétitions de patinage artistique à venir vous a été attribuée. Quel système de vote choisiriez-vous pour classer les patineurs? Comment pourriez-vous vous assurer que que le système de vote est équitable? Évidemment les mathématiques peuvent nous aider à répondre à ces questions! Continue reading →

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Comment mesurer la taille d’un objet géométrique ? Pour décrire des sous-ensembles du plan, nous utilisons couramment les mots de périmètre, de longueur, d’aire, de diamètre, etc. Mais ils ne suffisent pas lorsqu’on veut décrire les fractales. Les objets fractals sont des objets géométriques très complexes et nous devons trouver un moyen de quantifier leur complexité. C’est dans ce but que les mathématiciens ont introduit le concept de dimension. La dimension permet de mesurer la complexité d’une fractale. Cette notion de dimension est une généralisation et une formalisation de notre notion intuitive de dimension, lorsque nous parlons de dimension 1, 2 ou 3. Nous allons parler de plusieurs moyens de décrire les objets fractals, en examinant deux exemples : le triangle de Sierpinski et le flocon de von Koch (voir figure ci-contre). Continue reading →

Vignette écrite par Christiane Rousseau.
Depuis ses débuts, Google a été “le” moteur de recherche. Ceci est dû à la domination de son algorithme PageRank. En effet, avec l’énorme quantité de pages sur internet, beaucoup de recherches aboutissent à des milliers ou des millions de résultats. Si ceux-ci ne sont pas bien ordonnés, alors la recherche peut n’être d’aucune aide, puisque personne ne peut explorer des millions d’entrées. Continue reading →