Sequências de Goodstein: o poder do desvio via infinito

A autora original é Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello and Susanna Epp.

O estudo da evolução de um fenômeno natural leva, com frequência, ao estudo de sequências numéricas, especialmente ao estudo dos seus comportamentos assintóticos (ou de longo prazo) e de suas convergências. No ensino médio encontramos com frequência sequências aritméticas, polinomiais, exponenciais e logarítmicas, mas algumas outras sequências de definição bem simples podem exibir um comportamento mais complexo. Exemplo disso são as sequências caóticas que surgem nos estudo de sistemas dinâmicos (ver [1]) e a sequência Siracusa (ou “3n+1“) , introduzida por Luther Collatz, em 1937. A sequência Siracusa tem desafiado os matemáticos por décadas, e apesar de se já ter calculado uma quantidade imensa de seus valores, até o momento não se sabe se a sequência é infinita ou finita e se sempre termina em 1 (ver [2])

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La ley de Benford: ¿aprender a defraudar o a detectar fraudes?

Autor original: Christiane Rousseau.
Cambiar demasiados números en documentos financieros puede resultar arriesgado si uno no conoce ciertas matemáticas. Muy a menudo, los números que aparecen en este tipo de documentos siguen cierta regla matemática, llamada ley de Benford o ley del primer dígito significativo. Si uno se olvida de seguir la regla, entonces los números no pasarán ciertos tests estadísticos y es probable que sean examinados con detenimiento por un hipotético agente fiscal. La ley de Benford afirma que si se toman números aleatoriamente y se calculan las frecuencias de sus primeros dígitos significativos, los números con primer dígito significante 1 representarían el 30%, mientras que los números con primer dígito significante 9 representarían el 4.5%. Esta regla se observa en otros muchos conjuntos de números, como las potencias de 2 o los números de Fibonacci.

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El microscopio de Banach para encontrar un punto fijo

Autor original: Christiane Rousseau.

En esta viñeta mostramos cómo descubrir, comenzando con un pequeño juego, uno de los teoremas más potentes de las matemáticas: el teorema del punto fijo de Banach. Este teorema tiene fantásticas aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. En la sección 3 discutiremos su fascinante aplicación a la compresión de imágenes.

Pero comencemos con nuestro juego y echemos una mirada a la famosa tapa de una caja de La vaca que ríe.

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Criptografía de clave pública

Autores originales: Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Steven Galbraith (University of Auckland) y Edoardo Persichetti (University of Auckland).

¿Cómo podemos enviar de manera segura los datos de nuestra tarjeta de crédito a través de internet o utilizando un teléfono móvil cuando otros pueden interceptar nuestros mensajes? ¿Cómo podemos confiar en las actualizaciones de software sabiendo lo comunes que son los virus en los ordenadores? La criptografía (el estudio de técnicas para la comunicación segura en presencia de enemigos) proporciona respuestas a estas preguntas y tiene sus cimientos en las matemáticas.

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Cómo funciona Google: cadenas de Markov y valores propios

Versión original escrita por Christiane Rousseau.

Desde sus comienzos, Google se convirtió en “el” motor de búsqueda. Esto es debido a la supremacía de su algoritmo de jerarquización: el algoritmo PageRank. De hecho, debido a la enorme cantidad de páginas web en la World Wide Web, muchas búsquedas finalizan con miles o millones de resultados. Si estas páginas no estuvieran adecuadamente ordenadas, la búsqueda no sería de ninguna utilidad, ya que nadie es capaz de explorar millones de entradas. Continuer la lecture

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Public-key Kryptographie

Die Autoren des englischen Artikels sind Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Seven Galbraith (University of Auckland) und Edoardo Persichetti (University of Auckland).

Vom Englischen ins Deutsche übersetzt von Anna-Katharina Roos (Universität Würzburg)

Wie können wir auf eine sichere Art und Weise unsere Kreditkarten-Informationen über das Internet oder per Handy versenden, wenn andere unsere Mitteilungen abfangen können? Wie können wir Software Updates vertrauen, obwohl wir wissen, dass Computerviren nichts Ungewöhnliches mehr sind? Kryptographie (die Untersuchung der Techniken zur sicheren Kommunikation in der Gegenwart von feindlichen Attacken) gibt Antworten auf diese Fragen und die Mathematik liefert ihre Grundlage.

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Das Einfärben von Landkarten und die Gröbner-Basen

(Dieses Bild ist Eigentum der Seite mathscareers.org.uk, die freundlicherweise die Erlaubnis erteilte, es in dieser Arbeit benutzen zu dürfen.)

Autor: Marcelo Escudeiro Hernandes

Übersetzt von Herbert Glaser, Kristin Landeck und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)

Nach dem berühmten „Vier-Farben-Satz“ benötigen wir nur 4 Farben, um eine Landkarte so zu färben, dass benachbarte Gebiete nicht dieselbe Farbe haben. Unter Verwendung von Polynomgleichungen und Gröbner-Basen können wir berechnen, wann drei Farben für das Färben einer ausgewählten Landkarte ausreichen.

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De la Récurrence à l’Induction

Vignette écrite par Michèle Artigue et Ferdinando Arzarello.
Un quadrillage fait de carrés étant donné, il est facile de construire des carrés dont tous les sommets sont des nœuds du quadrillage. Mais est-ce possible pour d’autres polygones réguliers, par exemple pour un octogone ? La réponse est : « Non » et on peut le démontrer, pour l’octogone, de la façon suivante (Payan, 1994) :

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A Lei de Benford: aprendendo a fazer ou a detectar fraudes?

A autora original é Christiane Rousseau. A tradução para o Português é de Humberto José Bortolossi.
É muito arriscado ficar alterando números demais em relatórios financeiros se você não conhece matemática. De fato, a maioria dos números que aparecem em declarações financeiras seguem uma regra matemática estranha, denominada de Lei de Benford ou Lei do Primeiro Dígito Significativo. Se alguém se esquecer de seguir essa regra, então os números alterados não irão passar em alguns testes estatísticos e provavelmente eles cairão em uma malha fina. A Lei de Benford afirma que se você coletar números de forma aleatória e calcular as frequências de seus primeiros dígitos significativos, então os números com primeiro digito significativo igual a 1 aparecerão cerca de 30% das vezes, enquanto que os números com primeiro dígito significativo igual a 9 aparecerão somente 4.5% das vezes. Esta regra é observada em muitos outros conjuntos de números, como potências de 2 e os números de Fibonacci.

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Public-key cryptography

Originating authors are Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Steven Galbraith (University of Auckland) and Edoardo Persichetti (University of Auckland).
How can we safely send our credit card details over the internet, or using a mobile phone, when others can intercept our messages? How can we trust software updates, when we know that computer viruses are common? Cryptography (the study of techniques for secure communication in the presence of adversaries) provides answers to these questions, and mathematics provides its foundations.

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