Die Rache der Infinitesimalen

Originalautorin ist Michèle Artigue. (Übersetzt ins Deutsche von Reinhild Kokula, Universität Würzburg)

Infinitesimale spielten eine wichtige Rolle in der Entstehung und Entwicklung der Differential- und Integralanalysis. Die offensichtliche Leistungsfähigkeit der Analysis verhinderte allerdings nicht die wiederkehrenden heftigen Debatten über die Natur dieser Objekte und die Zulässigkeit ihrer Nutzung. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts, als die Konstruktion der reellen Zahlen aus den ganzen Zahlen und die moderne Definition des Grenzwertkonzepts eine solide Grundlage für Differential- und Integralanalysis lieferten, wurden Infinitesimale und die damit zusammenhängende Metaphysik zurückgewiesen und ihr Nutzen wurde als synonym zu vergangenen und wenig präzisen Praktiken angesehen. Allerdings wurde die Sprache der Infinitesimalen weiterhin benutzt, z.B. in der Physik und sogar in der Mathematik. Sie verschwand nie vollends aus dem informellen Diskurs und dem heuristischen Denken einer Vielzahl von Forschern.

Ist diese Sprache also wirklich inkompatibel mit der mathematischen Präzision? Welche interessanten und speziellen Dinge hat sie zu bieten, die ihr Fortweilen erklären? Nichtstandard-Analysis wurde im 20. Jahrhundert entwickelt und lieferte Antworten auf diese Fragen und gab den Infinitesimalen die Möglichkeit, sich zu rächen.

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Faire Bewertungen: Das Streben nach Gold

Orginalautoren sind Gabriel Rosenberg und Mark Iwen. (Übersetzt ins Deutsche von Reinhild Kokula, Universität Würzburg)

Es ist nur wenigen Leuten bekannt, dass während der Olympischen Winterspiele 2002 an zwei Teams die Goldmedaille in der Kategorie Paareiskunstlauf verliehen wurde. Diese zwei Medaillen waren das Ergebnis einer umstrittenen Bewertung, die zunächst damit endete, dass die klaren Zuschauerfavoriten kein Gold gewannen. Die Empörung darüber war so groß, dass das Internationale Olympische Komitee (IOK) letztlich eine zweite Goldmedaille an die Zweitplatzierten verleihen musste, um dem Skandal zu begegnen. Eine Folge davon war, dass das System zur Bewertung darüber, welche Eiskunstläufer eine Medaille verdienten, geändert wurde (NB: Vor 2003 bewerteten die Juroren die Teilnehmer individuell und nutzten die Ergebnisse, um die Athleten zu klassifizieren. Diese Klassen (nicht Punkte) wurden dann kombiniert, um insgesamt Preise zu verleihen).

Stellen Sie sich vor, dass Sie Teil des IOK im Jahre 2003 sind und damit beauftragt werden, ein besseres Bewertungssystem zu entwickeln, mit dem Eiskunstlaufwettkämpfe in Zukunft bewertet würden. Welches Bewertungssystem würden Sie für die Einordnung der Eiskunstläufer wählen? Wie würden Sie sichergehen, dass das System fair ist? Wenig überraschend kann die Mathematik diese Fragen beantworten! Continue reading

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Wie Google funktioniert

Ursprüngliche Autorin ist Christiane Rousseau. (Übersetzt ins Deutsche von Reinhild Kokula, Universität Würzburg)

Schon von Anfang an war Google „die“ Suchmaschine. Der Grund dafür ist die Überlegenheit seines Rangfolgenalgorithmus: der PageRank Algorithmus. Wegen der enormen Menge an Seiten im World-Wide-Web enden viele Suchanfragen tatsächlich mit Tausenden oder Millionen von Ergebnissen. Wenn diese nicht richtig geordnet sind, ist die Suche vielleicht gar keine Hilfe, weil man keine Millionen Einträge erkunden kann. Continue reading

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Wie löse ich diese Gleichung? Betrachten Sie die Symmetrien! – Die Idee hinter Galoistheorie

Originalautor ist Timo Leuders.

Einführung
Es gibt Fragen, die die Entwicklung der Mathematik über Kulturen und Jahre hinweg begleiten. Eine dieser Fragen ist die folgende: Wie findet man eine unbekannte Größe x, von der man einige Bezie- hungen kennt, wie zum Beispiel – in der heutigen algebraischen Notation – diese:

    \[x^2 =x+5\]

Wie man Lösungen zu solchen quadratischen Gleichungen findet, ist im Grunde bereits seit der babylonischen Zeit bekannt und ist ein Herzstück der Schulmathematik:

    \[x^2-x-5=0 \, \Rightarrow \, x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{21} \, \vee \, x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{21}\]

Aber wie steht es mit x^5 = x + 5 , eine Gleichung, die nur wenig anders aussieht? Gibt es dafür auch direkte Wege, die Lösungen zu berechnen? Sehen die Lösung in ähnlicher Weise symmetrisch aus?

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Handel in der Stadt

Die Autoren des Originaltextes sind Alberto A. Pintoa (Universität Porto, cLIAAD-INESC Porto LA) und Telmo Parreira (Universität Minho, cLIAAD-INESC Porto LA).

Warst du je frustriert von dem Mangel an Auswahl, wenn du etwas kaufen gehst? Warum neigen die Produzenten dazu ihre Produkte so ähnlich wie möglich zueinander zu gestalten? Wenn wir modellieren wie Käufer in einer Stadt entscheiden, in welchem Geschäft sie ihre Einkäufe tätigen, führt uns die resultierende Mathematik zum Gesetz von Hotelling. Dieses besagt, dass die Gestaltung eines Produkts ähnlich zum Konkurrenten tatsächlich eine rationale Entscheidung ist. Wir werden ebenso in die Mathematik der Spieltheorie und des Nash-Gleichgewichts geführt.
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Bridges

Bridges Org

Septembers Seite des Monats ist: Bridges

Bridges ist eine Organisation, die die jährliche Bridges Konferenz über Mathematik und Kunst leitet. Die Seite beinhaltet viele Bilder und Quellen verschiedenster künstlerischer Darstellungen: von Poesie bis zu Modellen, von Tanz bis zu Origami, von Jonglieren bis zur Malerei. Der Reiter -Resources- auf der Homepage enthält Links zu anderen Seiten, die für Lehrer von Interesse sind.

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Mathematical Models

Mathematical Models

September’s featured book of the month is “Mathematical Models” by H.M. Cundy and A.P. Rolett.

This classic was first published in 1952 by Oxford University Press, but was republished in paperback by Tarquin in 1981.

As well as nets polyhedra, it has a wide variety of linkages and dissections, as well as several mechanical models.

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Die Geschichte zweier Dreiecke: Heron-Dreiecke und Elliptische Kurven

Autor: William McCallum (University of Arizona)

Übersetzt von Anna Muff und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)

Wenn zwei Dreiecke denselben Flächeninhalt und denselben Umfang haben, sind sie dann notwendigerweise kongruent? Wie sich herausstellt ist die Antwort nein. Ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 hat beispielsweise denselben Flächeninhalt und Umfang wie ein Dreieck mit den Seitenlängen 41/15, 101/21 und 156/35.

Der Umfang beider Dreiecke ist 12:

    \begin{displaymath} 3 + 4 + 5 =12, \quad \hbox{und} \quad \frac{41}{15} + \frac{101}{21} + \frac{156}{35} = \frac{287 + 505 + 468}{105} = \frac{1260}{105} = 12. \end{displaymath}

Erstaunlicherweise haben diese beiden Dreiecke auch denselben Flächeninhalt. Das rechtwinklige Dreieck hat den Flächeninhalt \frac{1}{2} 4 \cdot 3 = 6.
Um den Flächeninhalt des anderen Dreiecks zu berechnen benutzen wir den Satz des Heron, der aussagt, dass der Flächeninhalt A eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c gegeben ist durch

    \begin{eqnarray*} A &=& \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \end{eqnarray*}

wobei s = \frac12(a+b+c) den halben Umfang des Dreiecks angibt. Durch eine kurze Rechnung, die diese Formel benutzt, zeigt sich, dass der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks auch 6 ist.

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Der Satz vom Igel

Autor: João Pimentel Nunes

Übersetzt von Anna Muff (Universität Würzburg)

Der Satz vom Igel (The Hairy Ball Theorem) ist ein Satz aus der Topologie, dem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Form von Räumen befasst. Im Wesentlichen hat Henri Poincaré, der als einer der Begründer der Topologie angesehen wird, dieses Ergebnis am Ende des 19. Jahrhunderts gefunden [1].

Es gibt einige mathematische Resultate, die uns aus Alltagssituationen bekannt sind: So werden viele von uns jeden Morgen mit dem Satz vom Igel konfrontiert, wenn sie versuchen ihre Haare zu kämmen und dabei einen hartnäckigen Wirbel auf ihrem Kopf vorfinden. Um es einfach auszudrücken besagt der Satz vom Igel, dass es unmöglich ist eine behaarte sphärische Kugel so zu kämmen, dass keine Wirbel entstehen.


Dieses Video erklärt den Satz auf wirklich nette Weise.
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Das Benfordsche Gesetz: Lernt man zu betrügen oder Betrug aufzudecken?

Die Autorin des Originaltextes ist Christiane Rousseau.

Vom Englischen ins Deutsche übersetzt von Katrin Wörler-Veh (Universität Würzburg)

Es erweist sich als sehr riskant, zu viele Zahlen in irgendwelchen Finanzaufstellungen zu ändern, wenn man sich nicht ein bisschen mit Mathematik auskennt. In der Tat folgen Zahlen, die in Finanzaufstellungen erscheinen, sehr häufig irgendeiner seltsamen mathematischen Regel, die auch Benfordsches Gesetz oder Gesetz der ersten signifikanten Ziffer genannt wird. Wenn man vergisst, diese Regel zu befolgen, dann bestehen die Zahlen einige statistische Tests nicht und werden höchstwahrscheinlich mit äußerster Sorgfalt überprüft. Das Benfordsche Gesetz besagt, dass die Zahlen mit der 1 als erster signifikanter Ziffer in zufälligen Zahlenansammlungen mit einer Häufigkeit von rund 30% erscheinen sollten, wohingegen die Zahlen mit der 9 als erster signifikanten Ziffer nur in 4,5% der Fälle auftreten. Dieses Gesetz wurde auch in vielen anderen Zahlenmengen beobachten, z. B. den Quadratzahlen oder den Fibonacci-Zahlen.

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