Taschenrechner, Potenzreihen und Tschebyschow-Polynome

Chebysev series

Von Graeme Cohen.

Von allen bekannten Funktionen, wie zum Beispiel den Winkel-, Exponential- oder Logarithmusfunktionen, sind sicherlich die Funktionswerte von Polynomfunktionen am leichtesten zu berechnen. Dieser Artikel soll erstens den Begriff der Potenzreihe einführen, die auch als Polynomfunktion unendlichen Grades verstanden werden kann, und zweitens zeigen, wie mit ihrer Hilfe Funktionswerte von Funktionen mit einem Taschenrechner berechnet werden können. Wenn ein Taschenrechner Werte von trigonometrischen, exponentiellen oder logarithmischen Funktionen berechnen soll, so erreicht man dieses, indem die Funktionswerte von Polynomfunktionen berechnet werden, die man für solche Potenzreihen erhält, die für jene Funktionen repräsentativ sind und ausreichend gute Näherungen darstellen. Dies ist zwar der direkte Weg, aber es gibt oft bessere Möglichkeiten. Wir werden hier insbesondere eine Potenzreihe für die Funktion sin x herleiten und darlegen, wie man den direkten Ansatz verändern kann, um ihre Werte besser zu approximieren. Dabei werden wir auf Tschebyschow-Polynome zurückgreifen, die in vielerlei Hinsicht für einen ähnlichen Zweck und in vielen weiteren Anwendungen verwendet werden. (Für trigonometrische Funktionen ist der CORDIC-Algorithmus oft die bevorzugte Auswertungsmethode – ein Thema, das sich vielleicht für einen weiteren Klein-Artikel anbieten würde.)

Im Sinne von Felix Klein greifen wir hier auf einen grafischen Ansatz zurück. Ansonsten verwenden wir nur grundlegende Kenntnisse und Techniken aus Trigonometrie und Analysis.

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Das schockierende Verhalten von strömenden Fluiden

Von David Mumford and Christiane Rousseau

Aus dem Englischen übersetzt von Anna Muff (Universität Würzburg)

Die Schockwelle durch ein Überschall-Jet verursacht

Die Schockwelle durch ein Überschall-Jet verursacht

Vorwort: Dieser Klein-Artikel ist anspruchsvoller als andere. Dennoch beschreibt  er auf wenigen Seiten wie eines der schwierigsten offenen Probleme des Anfangs des 21. Jahrhunderts mit einfachen Worten erklärt werden kann. Der Klein-Artikel enthält bereicherndes Material, das zum Lesen gewählt werden oder übersprungen werden kann. Die Herausgeber des Klein-Blogs zögerten eine Weile, bevor sie diesen Artikel posteten. Nachdem  er aber mit Lehrern in zwei Klein-Workshops getestet wurde, die danach sagten, dass sie gerne die Herausforderung von schwierigeren Klein-Artikeln annehmen, wurde beschlossen sie auf dem Blog zu testen. Die Herausgeber sind gespannt auf Kommentare und darauf, ob jemand von dem Thema motiviert wurde.

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Dimension

SierpinskivonKochVon Christiane Rousseau

Übersetzt aus dem Englischen von Eva Klein (Universität Würzburg)

Wie misst man die Größe eines geometrischen Objekts? Für Teilmengen einer Ebene verwenden wir dazu oft Umfang, Länge, Flächeninhalt, Durchmesser, etc. Diese Maßbegriffe reichen jedoch nicht aus, um Fraktale zu beschreiben. Fraktale Objekte sind sehr komplexe geometrische Objekte, für deren Komplexität wir eine Quantifizierungsmöglichkeit suchen müssen. Zu diesem Zweck bietet sich der Begriff der Dimension an. Dimension liefert uns ein Maß für die Komplexität eines Fraktals. Der Dimensionsbegriff selbst geht dabei durch Generalisierung und Formalisierung aus unserem intuitiven Dimensionsbegriff hervor, den wir verwenden, wenn wir von 1D, 2D oder 3D sprechen. Im Folgenden werden wir einige Möglichkeiten für die Beschreibung fraktaler Objekte anhand zweier Beispiele betrachten, dem Sierpinski-Teppich und der Kochschen Kurve (siehe Abbildungen oben links).

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Symmetrie – Schritt für Schritt

Symmetry7Die Autorin des Originaltexts ist Anna Cannas da Silva.

Ins Deutsche übersetzt von Katrin Veh und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)

Symmetrie hat die Menschheit schon immer fasziniert und ist ihr in der Architektur, der Kunst, der Technik und der Wissenschaft von Nutzen gewesen. Seit Tausenden von Jahren wurden symmetrische Muster für die Herstellung von Textilien, Körben, Bodenbelägen, Tapeten, Geschenkpapier und so weiter genutzt. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts fand der russische Mathematiker und Mineraloge Yevgraf Fyodorov heraus, dass 17 Symmetrierguppen für Muster in der Ebene existieren [WPG]. Daher können wir beispielsweise genau 17 verschiedene Tapeten hinsichtlich dieser Klassen erhalten und nicht mehr! Bemerkenswert ist auch, dass alle diese Klassen in der Ornamentkunst der Antike gefunden werden können.

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Von der Rekursion zur Induktion

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Autoren: Michèle Artigue und Ferdinando Arzarello.

Übersetzt von Eva Klein und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)

Hat man ein quadratisches Gitterraster gegeben, so ist es leicht dort Quadrate einzuzeichnen, deren Ecken jeweils auf Schnittpunkten der Rasterlinien liegen. Aber ist dies auch für andere regelmäßige Polygone, z.B. ein Oktagon, möglich? Die Antwort lautet „Nein“ und kann für das Achteck wie folgt bewiesen werden (Payan, 1994):

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Matrizen und digitale Bilder

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Abb. 1

Übersetzt von Kira Katzenberger und Bettina Rösken-Winter (Ruhr-Universität Bochum)

Bilder, die man auf Internetseiten sehen kann, und Fotos, die mit dem Handy gemacht wurden, sind Beispiele für digitale Bilder. Es ist möglich, diese Art von Bildern durch Matrizen darzustellen. Zum Beispiel kann das kleine Bild von Felix der Katze (Abb. 1) dargestellt werden durch eine 35 \times 35 -Matrix, deren Einträge aus den Zahlen 0 und 1 bestehen. Diese Nummern geben die Farbe jedes Pixels an (ein Pixel ist das kleinste Element eines digitalen Bildes, das nur eine Farbe gleichzeitig annehmen kann): Die Zahl 0 kennzeichnet die Farbe Schwarz, die Zahl 1 kennzeichnet die Farbe Weiß. Digitale Bilder, die nur zwei Farben verwenden, werden binäre Bilder oder boolesche Bilder genannt.

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Public-key Kryptographie

Die Autoren des englischen Artikels sind Graeme L. Cohen (University of Technology, Sydney), Seven Galbraith (University of Auckland) und Edoardo Persichetti (University of Auckland).

Vom Englischen ins Deutsche übersetzt von Anna-Katharina Roos (Universität Würzburg)

Wie können wir auf eine sichere Art und Weise unsere Kreditkarten-Informationen über das Internet oder per Handy versenden, wenn andere unsere Mitteilungen abfangen können? Wie können wir Software Updates vertrauen, obwohl wir wissen, dass Computerviren nichts Ungewöhnliches mehr sind? Kryptographie (die Untersuchung der Techniken zur sicheren Kommunikation in der Gegenwart von feindlichen Attacken) gibt Antworten auf diese Fragen und die Mathematik liefert ihre Grundlage.

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Das Einfärben von Landkarten und die Gröbner-Basen

(Dieses Bild ist Eigentum der Seite mathscareers.org.uk, die freundlicherweise die Erlaubnis erteilte, es in dieser Arbeit benutzen zu dürfen.)

Autor: Marcelo Escudeiro Hernandes

Übersetzt von Herbert Glaser, Kristin Landeck und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)

Nach dem berühmten „Vier-Farben-Satz“ benötigen wir nur 4 Farben, um eine Landkarte so zu färben, dass benachbarte Gebiete nicht dieselbe Farbe haben. Unter Verwendung von Polynomgleichungen und Gröbner-Basen können wir berechnen, wann drei Farben für das Färben einer ausgewählten Landkarte ausreichen.

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Goodstein-Folgen: Die Kraft des Umweges über die Unendlichkeit

Die Autoren des englischen Artikels sind Michèle Artigue und Ferdinando Arzarello.
Die Analyse der Entwicklung eines Naturphänomens führt oft zur Untersuchung numerischer Folgen, insbesondere deren Langzeit-Verhalten und zu der Frage, ob sie eventuell konvergieren. Polynomiale, exponentielle und logarithmische Folgen werden häufig in weiterführenden Schulen behandelt, andere Folgen mit sehr einfachen Bildungsgesetzen zeigen dagegen ein viel komplexeres Verhalten. Beispiele sind die chaotischen Folgen, die bei der Untersuchung dynamischer Systeme auftreten (siehe [1]) und die Syrakus-Folge (oder 3n+1-Folge), die 1937 von Lother Collatz eingeführt wurde. Die Syrakus-Folge forderte Mathematiker über Jahrzehnte heraus. Trotz der riesigen Anzahl von Werten, die berechnet wurden, ist es zurzeit unbekannt, ob die Folge divergiert oder letztlich immer bei 1 endet (siehe [2]).

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Wie verpackt man Orangen? – Die Keplersche Vermutung über Kugelpackungen

Autorin: Christiane Rousseau.
Wie kann man gleich große Kugeln möglichst platzsparend auf- und nebeneinander legen? Kepler vermutete, dass die dichteste Kugelpackung diejenige ist, die man beim Obsthändler am Orangenstand sieht und die kubisch flächenzentriertes Gitter (Abb. 1) genannt wird. Auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress im Jahr 1900 formulierte David Hilbert 23 Probleme, deren Lösung den Fortschritt der mathematischen Wissenschaft im 20. Jahrhundert stark beeinflussen würde. Das Problem der dichtesten Kugelpackung, auch Keplersche Vermutung genannt, ist ein Teil von Hilberts 18. Problem. Die Keplersche Vermutung wurde 1998 von Thomas Hales bewiesen. Details dieses Beweises wurden allerdings erst 2006 veröffentlicht.

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