Von der Rekursion zur Induktion

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Autoren: Michèle Artigue und Ferdinando Arzarello.

Übersetzt von Eva Klein und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)

Hat man ein quadratisches Gitterraster gegeben, so ist es leicht dort Quadrate einzuzeichnen, deren Ecken jeweils auf Schnittpunkten der Rasterlinien liegen. Aber ist dies auch für andere regelmäßige Polygone, z.B. ein Oktagon, möglich? Die Antwort lautet „Nein“ und kann für das Achteck wie folgt bewiesen werden (Payan, 1994):

Lassen wir das Gitterraster zunächst einmal außer Acht. Jedem regelmäßigen Achteck (also einem Achteck mit gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln) ordnen wir wie in Abbildung 2 dargestellt ein anderes Achteck zu. Den Punkt A' erhält man als Bildpunkt des Punktes A durch eine 90°- Drehung gegen den Uhrzeigersinn mit Zentrum B, B' als Bildpunkt von  durch eine 90°- Drehung gegen den Uhrzeigersinn mit Zentrum C, usw. Auf diese Weise erhalten wir ein weiteres regelmäßiges Achteck, welches ähnlich zum Ausgangsachteck ist und dessen Zentrum ebenfalls O ist. Seine Fläche ist jedoch echt  kleiner als die des ersten Achtecks.

Kommen wir nun zu den regelmäßigen Polygonen zurück, deren Eckpunkte Rasterschnittpunkte sind. Jedem solchen  Polygon  weisen wir die Anzahl S(P) der Schnittpunkte der Gitternetzlinien zu, die komplett innerhalb des Polygons liegen (d.h. solche, die innerhalb des Polygons liegen und nicht auf einer Seitenlinie).  Ist  z.B. P das Pentagon aus Abbildung 3, dann gilt S(P)= 26 ( Zur Erinnerung:  Diese Zahl steht durch den Satz von Pick in engem Zusammenhang mit der Fläche des Pentagons).

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Abb.2: Konstruktion des zweiten Polygons

Abb. 3: Berechnung von  S(P)

Abb. 3: Berechnung von S(P)

Angenommen, man könnte ein regelmäßiges Achteck  konstruieren, dessen Eckpunkte Schnittpunkte von Gitternetzlinien sind. Durch den zuvor beschriebenen  Prozess könnten wir aus diesem wiederum ein weiteres regelmäßiges Achteck  konstruieren, dessen Eckpunkte ebenfalls Schnittpunkte der Gitterlinien sind, da diese Eigenschaft bei 90°- Drehungen erhalten bleibt, wenn das Drehzentrum ein Gitternetzpunkt ist. Außerdem wäre die natürliche Zahl S(P_2) stets echt kleiner als S(P_1). Wiederholt man diesen Prozess, so endet er notwendigerweise in einem Widerspruch.

Wir haben also die Unmöglichkeit der Existenz  eines solchen Achtecks unter Verwendung einer seit Fermats Zeitalter bekannten arithmetischen Methode bewiesen: Einen Beweis durch unendlichen Abstieg. Diese Methode beruht auf der Unmöglichkeit eine streng fallende unendliche Folge natürlicher Zahlen zu bilden  und bezieht sich dabei auf eine besondere Eigenschaft der Ordnung innerhalb der Menge der natürlicher Zahlen: die Eigenschaft der Wohlordnung. Diese besagt, dass jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Nehmen wir einmal an, man könne tatsächlich eine unendliche fallende Folge  (u_n) positiver natürlicher Zahlen bilden. Sei S dann die Menge aller Terme der  gegebenen Folge: S=\{ u_0, u_1, ... , u_n ... \}.

Dann hat S ein kleinstes Element \alpha. Dies ist ein Element der Folge, also existiert ein k, so dass \alpha =u_k gilt. Aber dann ist u_{k+1} < u_k und u_{k+1} liegt in S, ein Widerspruch zur Definition von \alpha.

Mathematische Induktion und die Wohlordnung von natürlichen Zahlen

Mathematische Induktion, wie sie normalerweise in der Oberstufe eingeführt wird, ist in der Tat eine Konsequenz der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Sie ist das dritte von Peanos Axiomen der Arithmetik (1908) und wird wie folgt formuliert:

„Wenn S eine Menge ist die 0 enthält und wenn für jedes Element a in S  der Nachfolger von a ebenfalls in S enthalten ist, dann enthält S  jede natürliche Zahl .“

Wir umschreiben dies normalerweise wie folgt: Wenn eine Eigenschaft P von natürlichen Zahlen sowohl  von 0 als auch jedem Nachfolger n+1 einer jeden natürlichen Zahl   angenommen wird, die diese Eigenschaft besitzt, so wird P von allen natürlichen Zahlen angenommen.

Nimmt man an, dass die Ordnung natürlicher Zahlen eine wohlgeordnete Relation ist, dann ist die mathematische Induktion eine direkte Konsequenz daraus.  Denn angenommen, die Eigenschaft P würde nicht von allen natürlichen Zahlen angenommen, und S sei die Menge der natürlichen Zahlen, die diese Eigenschaft nicht annehmen. Dann ist S  nicht leer, da sie ein kleinstes Element n_0 enthält und n_0 ist ungleich 0, da 0 die Eigenschaft P besitzt. Damit hat n_0 einen Vorgänger n_0 -1, der nicht in S enthalten ist. Aber dann nimmt n_0 -1 und damit auch n_0 P   an, im Widerspruch zur Definition von n_0.

Mathematische Induktion kann auch zur Definition von Funktionen genutzt werden. Man nutzt dies zum Beispiel, wenn man eine Folge durch Induktion definiert, indem man eine Relation u_{n+1}=f(u_n) aufstellt, wobei f eine auf \mathbb{N} definierte Funktion ist und als ersten Term u_0  hat. Man nennt dies auch eine Definition durch Induktion.

Rekursion und Induktion: Erste Verallgemeinerung

Allgemeiner gesehen kann man bei jeder wohlgeordneten Menge eine induktive Denkweise  verwenden. Betrachtet man zum Beispiel die Menge \{0,1\} \times \mathbb{N}  mit lexikographischer Ordnung (a,b) \leqslant (c,d), falls a < c   oder a=c  und b \leqslant d gilt. Diese Ordnung ist eine wohlgeordnete Relation. Sei S  eine nichtleere Teilmenge von \{0,1\} \times \mathbb{N}, so erhalten wir zwei Fälle:

  • Fall 1:  Alle Elemente von S haben die Form (1,b). Dann ist \{ b \mid (1,b) \in S \} eine nichtleere Teilmenge von \mathbb{N} und besitzt ein kleinstes Element b_0(1,b_0) ist damit das kleinste Element von S.
  • Fall 2: Es gibt ein Element von S von der Form (0,b). Um zu zeigen, dass S ein kleinstes Element besitzt,  muss man beweisen dass \{ b \mid (0,b) \in S \} ein kleinstes Element besitzt, was jedoch offensichtlich der Fall ist.

In ähnlicher Weise lässt sich zeigen, dass die lexikographische Ordnung von \mathbb{N}^p eine Wohlordnung ist. Die Anwendung des vorherigen Beweises wird in diesem Fall der Leserin oder dem Leser überlassen. Demzufolge kann es keine unendliche strengmonotonfallende Folge in diesen Mengen geben, selbst wenn  für jedes  Element der Form (a_1, a_2, ... , a_p) mit a_1 \neq 0  unendlich viele kleinere Elemente der Form (b_1, b_2, ..., b_p) mit b_1 < a_1 existieren.

Das Prinzip des unendlichen Abstiegs aus dem ersten Beispiel kann auch in \mathbb{N}^p angewendet werden. Außerdem kann man in \mathbb{N}^p  ebenfalls Funktionen durch Induktion definieren. Dies ist zum Beispiel der Fall für die von Ackermann 1932 definierte Funktion von \mathbb{N}^2 nach \mathbb{N}, die später noch näher erläutert wird.

Induktion und Ordinalzahlen

In der Mengentheorie drückt sich das für mathematische Beweise essentielle Konzept der Wohlordnung im Konzept der Ordinalzahlen aus und beschreibt nicht nur die bereits oben dargestellten Wohlordnungsrelationen. Ordinalzahlen, und damit auch natürliche Zahlen als endliche Ordinalzahlen, sind als wohlgeordnete Mengen durch Zugehörigkeit und Transitivität definiert (eine Menge X  ist transitiv, wenn alle Elemente z eines Elements y von X auch ein Element der Menge X sind). In diesem Artikel wird jedoch nur ein intuitiver Zugang zu transfiniten Ordinalzahlen betrachtet, die Ende des 19. Jahrhunderts von Cantor eingeführt wurden.  Die kleinste unendliche Ordinalzahl wird als \omega bezeichnet und ist die Vereinigung aller endlichen Ordinalzahlen. Sie repräsentiert die Ordnung auf den natürlichen Zahlen. Sie besitzt einen Nachfolger \omega +1, der wiederum einen Nachfolger \omega +2 besitzt, usw. Die kleinste Ordinalzahl, die größer als jedes \omega +n ist, ist \omega +\omega oder \omega . 2. Die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als jedes \omega . n , ist \omega^2 usw.

    \[0, 1, 2... n... \omega, \omega+1, \omega+2… \omega+n... \omega.2, \omega.2+1, \omega.2+2... \omega.2+n... \omega.3... \omega.n ... \omega^2 ... \omega^3... \omega^\omega ...\]

Es gibt in der Tat zwei verschiedene Arten von Ordinalzahlen: Diejenigen, die Nachfolger einer gegebenen Ordinalzahl sind, wie z.B. \omega +n, \omega ^\omega +n,  für n \neq 0, und diejenigen, die keinen Vorgänger besitzen, sondern Vereinigungen aller kleineren Ordinalzahlen sind, wie z.B. \omega, \omega ^n, \omega^\omega, ...  in der vorherigen Liste. Man stellt fest, dass die lexikographische Ordnung von \{0,1\} \times \mathbb{N} dieser Menge eine Ordnung zuweist, die der Ordnung der Ordinalzahl  \omega+\omega  entspricht. Die Verallgemeinerung der lexikographischen Ordnung von \mathbb{N} \times \mathbb{N} entspricht der von  \omega^2, … Aber es gibt viele andere Ordinalzahlen außer den hier benannten, und jede davon ist abzählbar.  Durch die Mengentheorie kann unter Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden, dass jede Menge wohlgeordnet sein kann.

Durch die Induktion nach Ordinalzahlen kann man Funktionen definieren. Um eine Funktion durch Induktion nach einer Ordinalzahl \alpha zu definieren, muss man ihren Wert an der Stelle 0 angeben und weiterhin wie man den Wert von f(\alpha) aus den Funktionswerten vorheriger Ordinalzahlen erhält. Man beachte, dass es hilfreich ist, zwei Fälle für die Definition von f(\alpha) zu betrachten: \alpha als Grenzwert oder als Nachfolger. Über den Ordinalzahlen kann man das Prinzip des unendlichen Abstiegs anwenden – die Goodstein Vignette liefert ein gutes Beispiel für einen solchen Beweis.

 

Über die Ackermannfunktion und das Diagonalargument

Ein Beispiel für eine Funktion, die durch Induktion definiert wird, ist die schon zuvor erwähnte Ackermannfunktion. Diese wird mit A bezeichnet und ist wie folgt definiert:

  • Für jede positive natürliche Zahl y, A(0,y) = y+1
  • Für jede positive natürliche Zahl x, A(x+1,0) = A(x,1)
  • Für jedes Paar positiver natürlicher Zahlen (x,y), A(x+1,y+1) = A(x, A(x+1,y)).

Ihr Wert an der Stelle (x,y) ist dann genau gegeben, wenn x gleich 0 ist. Wenn x \neq 0  gilt, so verwendet man für die Berechnung von A(x,y) die Werte der Funktion an gewissen Punkten (c,d), sodass (c,d) < (x,y) für die lexikographische Ordnung gilt. Diese Berechnung benötigt eine strengmonotonfallende Folge solcher Punkte, die zwangsläufig endlich ist, da die lexikologische Ordnung eine wohlgeordnete Relation ist. Diese Folge kann jedoch sehr lang sein. Wie viele Terme sind notwendig um A(3,2) zu bestimmen?

Wir beginnen mit dem einfacheren Beispiel: A(2,2), und verwenden die folgende Tabelle. <img src="http://blog.kleinproject.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35c1a59096fad23f50cff9d2974fc662_l3.png" height="159" width="212" class="ql-manual-mode " alt="Rendered by QuickLaTeX.com" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>  Mit Hilfe der ersten Bedingung  k�n wir die erste Spalte fllen. Daraufhin erh䬴 man sukzessive:A(1,0) = A(0,1) = 2;A(1,1) = A(0,A(1,0)) = A(0, 2) = 3;A(1,2) = A(0,A(1,1))= A(0,3) = 4

     und allgemein erh䬴 man: <span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://blog.kleinproject.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13c820bdd14a5098eca9ee79bd5b6595_l3.png" height="18" width="385" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[A(1,n+1)=A(0, A(1,n))=A(0,n+1)=n+2.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Wir erg䮺en anschliend:

A(2,0) = A(1,1) = 3;A(2,1) = A(1,A(2,0)) = A(1,3) = 5 und schlieichA(2,2) = A(1, A(2,1)) = A(1,5) = 7.  UmA(2,2) zu bestimmen, muss man alle Werte der Funktion fr die Paare der ersten Zeile bis hin zu(0,6)berechnen, die der zweiten Zeile bis zu(1,5), und die der dritten Zeile bis zu(2,2), d.h. man muss insgesamt 15 Werte verwenden.  Wie bestimmt manA(3,2) und welchen Wert frA(3,2)erh䬴 man letztendlich? Diese Berechnung wird der Leserin oder dem Leser berlassen.  Wenn man eine der zwei Variablen der Ackermannfunktion fest w䨬t, erh䬴 man was im Allgemeinen als arithmetische Funktion bekannt ist. Wir benennen mitA_n jene Funktion, die man erh䬴, indem mannals erste Variable festlegt. Wir haben bereits gesehen,  dassA_0(y)=A(0,y)=y+1 und damitA_0die Nachfolgerfunktion ist und es giltA_1(y) = y + 2. Man kann zeigen, dassA_2(y) = 2y+3undA_3(y)=2^{y+3}-3gilt. Danach werden die Ausdrcke durch Iteration der Exponenten schnell sehr kompliziert und die Werte vonA(x,y)werden in wenigen Schritten ziemlich gro  A(5,0)=65533, zum Beispiel, undA(4,2)ist bereits eine Zahl mit 19729 Stellen.  In der Tat kann man zeigen, dass fr die Funktiong, definiert durchg(x)=A(x,x), fr alle primitiv-rekursiven Funktionen, also jede Funktion die durch Komposition und Induktion mit Hilfe ihrer Nachfolgerfunktion und Projektionsfunktionen von\mathbb{N}^p zu\mathbb{N} definiert werden kann, eine positive natrliche ZahlNexistiert, sodassg(x) > f(x)fr jedesxgr� alsNgilt. So kann man beweisen, dass es berechenbare Funktionen gibt, die nicht primitiv-rekursiv sind. Die Ackermannfunktion ist ein Beispiel fr eine solche Funktion. Gew�iche Funktionen auf den ganzen Zahlen, wie z.B. solche Funktionen, die man am Gymnasium verwendet, sind jedoch allesamt primitiv-rekursiv. Die Funktionen, welche zwei natrlichen Zahlen ihre Summe oder ihr Produkt zuweisen, sind primitiv-rekursiv. Tats䣨lich kann man diese durch Induktion wie folgt definieren: Fr allex, x+0 = x,  undx.0=0und fr alley, x+(y+1) = (x+y)+1undx(y+1) = xy+x. Die Folgerung, dass die Funktion, die jedem Paar von natrlichen Zahlen(x,y)den Wertx^yzuweist und auch jede Iteration dieser Funktion ebenfalls primitiv-rekursiv ist, wird der Leserin oder dem Leser berlassen. Allgemein betrachtet, ist jede Funktion primitiv-rekursiv, die durch primitiv-rekursive Funktionen mit Hilfe eines Algorithmus definiert werden kann, der Schleifen der Form „frkvon1bisn`` verwendet.  Fr den Beweis ben�t man das Diagonalargument. Dieses Argument wurde 1874 von Georg Cantor eingefhrt um zu beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abz䨬bar ist, d.h. dass keine Bijektion zwischen\mathbb{R} und\mathbb{N} existiert. 1891 hat er diese Methode abermals angewendet, um zu beweisen, dass die Potenzmenge einer beliebigen MengeX (d.h. die Menge aller Teilmengen vonX) eine Kardinalzahl besitzt, die echt kleiner ist als die Kardinalzahl vonX. Die Einfhrung des Diagonalarguments war ein wichtiger Schritt in der Entwicklung der Mathematik. Insbesondere ist es der Anfangspunkt der Beweise vieler Resultate, einschlieich des G�schen Unvollst䮤igkeitssatzes, und von vielen S䴺en der Berechenbarkeitstheorie. Russells Paradoxon basiert ebenfalls auf dieser Idee. Schon im  Gymnasium kann man den Schlerinnen und Schlern einen kleinen Vorgeschmack auf diese Denkweise geben, indem man beweist, dass das Intervall[0,1)nicht abz䨬bar ist. Hierfr verwendet man, dass jede natrliche Zahl eine eindeutige Dezimaldarstellung besitzt (wobei man  hier nur normalisierte Repr䳥ntationen betrachtet, also keine uneigentlichen Dezimaldarstellungen, die in unendlich vielen Neunen enden). Nehmen wir an, es g䢥 eine Bijektion zwischen dem Intervall[0,1)und\mathbb{N}, und betrachten deshalb eine Folge(\alpha_n)dieser reellen Zahlen. Die genaue Dezimaldarstellung der reellen Zahl\alpha_nhat die Form  0,a_1^n a_2^n …,  und kann in unendlich vielen Nullen enden. Betrachten wir die reelle Zahl\alpha, deren Dezimaldarstellung  0,b_1^n b_2^n …  ist, mitb_k=a_k ^k -1 fallsa_k ^k \neq 0 undb_k=a_k ^k +1 falls  a_k ^k = 0, so ist es klar, dass0,b_1 ^n b_2 ^n … die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl\betaim Intervall[0,1) sein muss und dass\betaungleich zu jedem Element der Folge(a_n)ist. Folglich ist das Intervall[0,1)$ nicht abzählbar und die Menge der reellen Zahlen auch nicht.

Fazit

Das Prinzip der mathematischen Induktion ist nun schon seit dem Altertum in Gebrauch. Beispielsweise wird es in Euklids Elementen verwendet, um zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Auch das Prinzip des unendlichen Abstiegs wird seit Hunderten von Jahren genutzt und wird oft mit Fermat in Verbindung gebracht, der es wiederholt in seinem Werk zur Zahlentheorie verwendete. Auf die Äquivalenz dieser beiden Prinzipien  wird jedoch erst seit Kurzem hingewiesen,  eine Tatsache, die auf der Entwicklung der mathematischen Logik beruht. Das Hauptwerkzeug hierfür ist das Konzept der Wohlordnung, in welchem Georg Cantor ein fundamentales „Werkzeug des Denkens“ sah. Es erlaubt uns die Äquivalenz zwischen mathematischer Induktion und unendlichem Abstieg zu erkennen, aber auch mit anderen Mengen außer den natürliche Zahlen zu arbeiten und insbesondere zu verstehen, wie Induktion mit mehr als einer Induktionsvariable funktioniert (wie Z.B. in der Ackermannfunktion).

Das Beispiel vom Beginn dieses „Klein-Artikels“ zeigt, dass mathematische Induktion ein allgemeines Werkzeug der Mathematik ist und kein alleiniges Werkzeug der Zahlentheorie. Besonders in der diskreten Mathematik spielt sie eine große Rolle.

Dieser „Klein-Artikel“ bot außerdem Anlass, viele wichtige Fragen zusätzlich zu  – aber nicht  unabhängig von – der Induktion zu nennen, wie z.B. die der Berechenbarkeit. Die Mathematisierung des intuitiven Konzepts der Berechenbarkeit, welche die Encodierung von verschiedenen Typen von diskreten Objekten und die Verwendung von Diagonalargumenten erfordert, hat dabei geholfen, viele wichtige Resultate in verschiedensten Feldern zu erzielen. Sie ist außerdem entscheidend für Verbindungen zwischen Mathematik und Informatik.

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