Il microscopio di Banach per trovare un punto fisso

Autore originario é Christiane Rousseau.

In questa vignette, mostreremo come, partendo da un piccolo gioco, si giunge a scoprire uno dei più potenti teoremi della matematica, ovvero il teorema del punto fisso di Banach. Tale teorema ha sorprendenti applicazioni all’interno della matematica e al di fuori di essa. Nella terza sezione discuteremo l’affiascinante applicazione alla compressione di immagini.

Ma, partiamo con il nostro gioco e osserviamo il famoso coperchio della scatola di The Laughing Cow.

L’orecchino destro della mucca e di nuovo una Laughing Cow. Ad ogni punto del coperchio, associamo il punto corrispondente sull’orecchino destro. Questa è naturalmente una funzione dal coperchio in se stesso, che chiameremo F. Per esempio, alla punta del mento della mucca associamo la punta del mento della piccola mucca sull’orecchino destro. Al centro dell’occhio destro della mucca associamo il centro dell’occhio destro della piccola mucca sul- l’orecchino destro, ecc. Ora ecco la domanda: esiste un punto che viene mandato in se stesso attraverso questo procedimento? Tale punto, se esiste, sarà detto punto fisso. Se esiste un punto fisso, allora non è nessuno dei punti che abbiamo elencato sopra. Inoltre, se esiste un punto fisso, esso dovrebbe giacere sull’orecchino destro. Tuttavia, tale orecchino destro viene mandato nell’orecchino destro della piccola mucca, e così via. Visivamente, possiamo constatare che questi orecchini destri contenuti uno dentro l’altro sembrano convergere ad un punto, che chiamiamo A, e A è un candidato per la nostra soluzione.

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