មីក្រូទស្សន៍របស់ Banach ដើម្បីស្វែងរកចំណុចថេរមួយ

រៀបរៀងដោយអ្នកនិពន្ធៈ Christiane Rousseau។

ក្នុងអត្ថបទដ៏ខ្លីនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលយើងចាប់ផ្ដើមពីល្បែងមួយដ៏តូចរកអោយឃើញទ្រឹស្ដីមួយក្នុងចំណោមទ្រឹស្ដីដែលសំខាន់ជាងគេនៃគណិតវិទ្យាដែលមានឈ្មោះថា “ទ្រឹស្ដីបទ Banach នៃចំណុចនឹង”។ ទ្រឹស្ដីបទនេះមានការអនុវត្តដ៏អស្ចារ្យទាំងក្នុង និង ក្រៅគណិតវិទ្យា។ ក្នុងចំណុចទី៣ យើងនឹងនិយាយអំពី ការអនុវត្តមួយដ៏គួរអោយទាក់ទាញក្នុងរូបភាពដ៏សែនច្បាស់។ ប៉ុន្តែចូរផ្ដោតអារម្មណ៍ទៅលើល្បែងរបស់យើង ហើយមើលទៅគម្របនៃប្រអប់មួយដ៏ល្បីល្បាញ គឺរូបគោសើច។ នៅត្រចៀកខាងស្ដាំ ក៏ជារូបគោសើចដែរ។ ចំពោះគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៅលើគម្រប គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងរូបនៅត្រចៀកខាងស្ដាំ។ ភាពដូចគ្នានេះ គឺជាអនុគមន៍ពីគម្របទៅនឹងត្រចៀកខាងស្ដាំរបស់វានោះឯង ដែលយើងនឹងហៅវាថា F។ តួយ៉ាង ដូចជាចុងចង្ការបស់គោធំ ដូចគ្នាទៅនឹងចុងចង្ការបស់គោតូចនៅត្រចៀកខាងស្ដាំអញ្ចឹងដែរ។ ពេលនេះ យើងមានសំនួរតូចមួយគឺ : តើមានចំណុចណាដែលត្រូវបានបញ្ជូនទៅខ្លួនវាវិញតាមលំនាំខាងលើឬទេ? នៅត្រង់នេះ បើមានចំណុចនោះ យើងនឹងហៅចំណុចនោះថា ចំណុចនឹង ។ បើមានចំណុចនឹងមែន នោះវាគួរតែស្ថិតនៅក្នុងត្រចៀកខាងស្ដាំ។ ប៉ុន្តែត្រចៀកខាងស្ដាំនេះ ត្រូវបានបញ្ជូនទៅត្រចៀកខាងស្ដាំនៃកូនគោតូច។ យើងឃើញថា រូបភាពទាំងមូលនៅត្រចៀកខាងស្ដាំ ហាក់ដូចជារួមទៅចំណុចមួយដែលយើងតាងដោយ A ហើយ A ជាគោលដៅនៃសម្រាយបញ្ជាក់របស់យើង។

ឥឡូវ ចូរយើងចាប់ផ្ដើមជាមួយចំណុចណាមួយ ឧទាហរណ៍ថា នៅចុងចង្កាគេតាង P_0។ បន្ទាប់មក P_0 បញ្ជូនរូបភាពទៅ P_1=F(P_0) ដែលជាចុងចង្កានៃសត្វគោតូចនៅត្រចៀកខាងស្ដាំរបស់គោ។ តមកទៀត P_1 បញ្ជូនរូបភាពទៅអោយ P_2 ដែល P_2=F(P_1) ដែលជាចុងចង្ការបស់គោ លេចឡើងនៅត្រចៀកខាងស្ដាំនៃគោតូចជាបន្តបន្ទាប់។ យើងកត់សម្គាល់ឃើញវត្ថុបី៖

  1. យើងអាចនឹងបន្តការសង្កេតរហូតដល់ចំនួនមិនកំណត់មួយដែលបង្កើតបានជាស្វ៊ីត (P_n) ដែល P_{n+1}=F(P_n)
  2. យើងសង្កេតឃើញថា មានតែចំណុចចំនួនកំណត់ណាមួយនៃស្វ៊ីតប៉ុណ្ណោះដែលមើលទៅឃើញច្បាស់ រីឯចំណុចដទៃបន្តទៀត មិនអាចមើលឃើញនោះទេ។ ជាការពិតណាស់ ពេលយើងពង្រីករូបភាព នោះយើងអាចឃើញរូបគោនឹង បានប៉ុន្មានដំណទៀត។ ប៉ុន្តែ ទោះជាយើងខំប្រើឧបករណ៍ពង្រីកយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏យើងអាចមើលឃើញរូបគោនោះតែចំនួនកំណត់ណាមួយទៀតប៉ុណ្ណោះ។ យើងនៅតែមិនអាចមើលឃើញរូបគោនៅត្រចៀកខាងស្ដាំនោះបន្តបន្ទាប់ដដែល។
  3. ស្វ៊ីតនេះហាក់ដូចជារួមទៅរកចំណុច A ដូចពីមុនអញ្ចឹង។

យើងជ្រើសរើសចំណុច Q_1 ណាមួយផ្សេងទៀត ហើយបង្កើតស្វ៊ីត (Q_n) ដែល Q_{n+1}=F(Q_n)។ យើងនឹងបានឃើញថាស្វ៊ីត (Q_n) នឹងរួមទៅរកចំណុច A តែមួយ។ ជាការពិតណាស់ យើងកត់សម្គាល់ឃើញថា តាមលំនាំបន្តបន្ទាប់ទៀតពិតជាមានចំណុច A តែមួយគត់ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបណ្ដុំរូបភាពដែលនៅនឹងត្រចៀកខាងស្ដាំ ខិតទៅរក 0។

តើទ្រឹស្ដីបទ Banach នៃចំណុច នឹងប្រាប់យើងពីអ្វីខ្លះ? វានឹងប្រាប់យើងថា តាមពិតអនុគមន៍ F មានចំណុចនឹងតែមួយគត់នោះមានន័យថាមានចំណុច A តែមួយគត់នៃប្លង់ដែល F(A)=A។ ជាងនេះទៅទៀត វាក៏ជាការពិតផងដែរថា បើយើងចាប់ចំណុច P_0 ហើយយើងបង្កើតស្វ៊ីត \{P_n\} ដែល P_{n+1}=F(P_n) បន្ទាប់មក ស្វ៊ីតនោះ នឹងរួមទៅរក A។

ប៉ុន្តែ តើហេតុអ្វីបានជាវារួមទៅរក A អញ្ចឹង? តើនឹងមានអនុគមន៍ F ណាទៀតដែរឬទេ ដែលរួមរកចំណុច A? ជាការពិតណាស់ មិនមានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ បើបំណកស្រាយមួយនៅលើប្លង់គ្មានចំណុចនឹង ហើយអនុវត្តន៍ G(x,y)=\left(x+\left(x^2-1\right),y\right) មានចំណុចនឹងពីរ (\pm 1,0)។ អនុវត្តន៍ F គឺជាល្បែងដែលមានលក្ខណៈពិសេសរបស់យើង។ វាគឺជាដំណើររួមមួយ។ ជាការពិតណាស់ រូបភាពតូចជាងដែនកំណត់។ បើចំណុចពីរ P និង Q មានចម្ងាយដោយផ្នែក នោះរូបភាពរបស់វាគឺ F(P) និង F(Q) កាន់តែជិតជាងគ្នាចំណុច P និង Q។ សំណើរនេះពិតជាត្រឹមត្រូវឥតខ្ចោះព្រោះក្នុង \mathbb{R}^2 យើងអាចវាស់ចម្ងាយរវាងពីរចំណុចផ្សេងគ្នាបាន។ ព្រោះក្នុង \mathbb{R}^2 គឺជាលំហមេទ្រិច។ វាជាលក្ខណៈពិតដែល F រួមព្រោះនៅពេលដែលយើងបង្កើតស្វ៊ីត (P_n) នោះគ្រប់អ្វីដែលជាចំណុចចាប់ផ្ដើមគឺវាជាក់លាក់ (ទោះបីជាយើងមើលទៅលំនាំនោះឆ្ងាយ ឬជិត ឬតាមរយៈមីក្រូទស្សន៍ ឬតាមមីក្រូទស្សន៍អគ្គីសនីក៏ដោយ) នោះក្រោយពីចម្ងាយ N ណាមួយដែលអាស្រ័យទៅនឹងចំណុចចាប់ផ្ដើម នោះគ្រប់ធាតុ P_n, n>N នៃស្វ៊ីត ក្លាយទៅជាមិនអាចមើលឃើញ ឬមិនអាចបែងចែងអោយដាច់ពីគ្នាបាន។ យើងនឹងហៅវាម្ដងទៀតនៅចំណុចក្រោយដែលស្វ៊ីតមានលក្ខណៈបែបនេះហៅថា ស្វ៊ីតកូស៊ី។ ក្នុង \mathbb{R}^2 យើងមានលក្ខណៈដែលថា គ្រប់ស្វ៊ីតកូស៊ីមានលីមីត។ យើងហៅ \mathbb{R}^2 ជាលំហមេទ្រិចពេញ។

I. ទ្រឹស្ដីបទ Banach នៃចំណុចនឹង

ពេលនេះ យើងមានគ្រប់គ្រាន់នូវគ្រឿងផ្សំសម្រាប់ករណីទូទៅ ហើយយើងអាចបង្កើតនូវទ្រឹស្ដីមួយ។

ទ្រឹស្ដីបទ( ទ្រឹស្ដីបទ Banach នៃចំណុចនឹង ) តាង K ជាលំហរមេទ្រិចពេញ ដែលមានចម្ងាយផ្សេងគ្នានៃពីរចំណុច P និង Q កំណត់ដោយ d(P,Q)។ តាង F:K\to K ជាការបង្កើត មានន័យថាកើតមានឡើងនូវ c\in(0,1) ដែលចំពោះគ្រប់ P,Q\in K នោះគេបាន d(F(P),F(Q))\leq c\,d(P,Q)។ តមកទៀត F មានចំណុចនឹងតែមួយគត់គឺ A\in K ដែល F(A)=A។

យើងនឹងកំណត់នូវគ្រប់ករណីដែលកើតឡើងក្នុងសំណើរនេះ។ ផ្នែកនេះទូទៅជាង ហើយអាចទុកវាសិន បើអ្នកខ្វល់ពីការអនុវត្តន៍បន្តនោះ។ យើងបានដឹងហើយថា ចម្ងាយរវាងចំណុច P និង Q គឺនៅក្នុង \mathbb{R}^2។ តើយើងបង្កើតសំណុំ K ដោយរបៀបណា?

និយមន័យ ចម្ងាយនៅលើសំណុំ K គឺជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ d:K\times K\to\mathbb{R} ដែល

  1. ចំពោះគ្រប់ P,Q\in K, d(P,Q)\geq 0
  2. d(P,Q)=0 លុះត្រាតែ P=Q
  3. ចំពោះគ្រប់ P,Q,R\in K, d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q) ( វិសមភាពត្រីកោណ )

យើងស្គាល់លក្ខណៈទាំងនេះដែលបានបញ្ជាក់ច្បាស់នូវចម្ងាយអ៊ឺគ្លីដក្នុង \mathbb{R}^2។

ឥឡូវយើងប្រើឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃស្វ៊ីតកូស៊ីដែលបានអោយនិយមន័យនៃបញ្ញត្តិនៃស្វ៊ីត។ ក្រោយចំនួនកំណត់ណាមួយនៃធាតុ គ្រប់ធាតុដទៃទាំងអស់មិនអាចបែងចែកពីភាពខុសគ្នាបានទេ។ យើងក៏បានហៅឡើងវិញផងដែរនូវនិយមន័យនៃស្វ៊ីតរួម។

និយមន័យ

  1. ស្វ៊ីត (P_n) នៃធាតុ ជាលំហមេទ្រិច K ជាស្វ៊ីតកូស៊ីចំពោះ \forall\varepsilon>0 មាន N\in\mathbb{N}, \forall n,m>N នោះ d(P_n,P_m)< \varepsilon
  2. ស្វ៊ីត (P_n) នៃធាតុជាលំហមេទ្រិច K រួមទៅរកលីមីត A\in K ដែលចំពោះគ្រប់ \varepsilon>0 មាន N\in\mathbb{N} ដែលគ្រប់ n>N នោះគេបាន d(P_n,A)< \varepsilon

និមយន័យ

លំហមេទ្រិច K មួយជាលំហមេទ្រិចពេញ បើស្វ៊ីតកូស៊ី (P_n) ណាមួយនៃធាតុ K រួមទៅរកធាតុ A នៃ K។

តើយើងអាចស្រាយនូវទ្រឹស្ដីបទចំណុចនឹងបានដោយរបៀបណា ? ភាពមានតែមួយគត់នៃចំណុចនឹង ជាវិធីដែលងាយ។ តាមពិតទៅ ឧបមាថា A និង B ជាចំណុចនឹងពីរ នោះ F(A)=A និង F(B)=B។ ជាងនេះទៅទៀត បើ F បានបង្កើតឡើង នោះ d(F(A),F(B))\leq c\,d(A,B) ដូចនេះ d(A,B)\leq c\,d(A,B)។ ចម្លើយតែមួយគត់គឺ d(A,B)=0 នោះបញ្ជាក់ថា A=B។

ដូចដែលមានស្រាប់ បញ្ញត្តិនៃការស្រាយបញ្ជាក់សាមញ្ញណាស់៖ យើងបានរកឃើញរួចមកហើយ វានៅក្នុងល្បែងរបស់យើងជាមួយគោសើចនោះ។ យើងចាប់យកចំណុច P_0\in K ណាមួយ ហើយយើងបង្កើតស្វ៊ីត (P_n) ( ដូចពីមុនដែរ ) ដែល P_{n+1}=F(P_n) នោះស្វ៊ីតនោះជាស្វ៊ីតកូស៊ី ហើយលីមីតរបស់វាជាចំណុចនឹង។ (ជាការពិតណាស់ ការបង្ហាញនូវសម្រាយបញ្ជាក់ពីរនេះ ត្រូវការសកម្មភាពមួយចំនួន ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនបកស្រាយនូវបច្ចេកទេសលំអិតនោះទេ។ អ្វីដែលសំខាន់នោះ ជាដំណោះស្រាយដូចគ្នាក្នុងករណីទូទៅនៃលំហមេទ្រិចពេញដ៏ស្មុគស្មាញក្នុងករណីដ៏សាមញ្ញនេះ K=\mathbb{R})។

គំនិតក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់ មិនត្រឹមតែសាមញ្ញ និង ប្រកបដោយអព្ភន្តរញ្ញាណ ប៉ុន្តែថែមទាំងមានភាពអស្ចារ្យជាច្រើនផងដែរ។ វាជាការផ្ដល់អោយយើងនូវ វិធីដោះស្រាយតាមបែបវិភាគលេខក្នុងការបង្កើតចំណុចនឹង A មួយ។ នេះបានបង្ហាញថា ការអនុវត្តន៍ជាច្រើននៃទ្រឹស្ដីបទនេះ អាចនឹងស្រាយបញ្ជាក់បានទាំងផ្នែកទ្រឹស្ដីបទ និង ផ្នែកអនុវត្តន៍។

II. ការអនុវត្តន៍ក្នុងការវិភាគ

មួយក្នុងចំណោមទ្រឹស្ដីអនុវត្តន៍ដ៍សំខាន់នៃទ្រឹស្ដីបទ Banach នៃចំណុចនឹង គឺជាសម្រាយបញ្ជាក់ដែលមានស្រាប់ ផ្សំនឹងភាពមានតែមួយគត់នៃសម្រាយបញ្ជាក់នៃសមីការផ្សេង យ៉ាងគ្រប់គ្រាន់និងទៀងទៀត់។ ក្នុងការអនុវត្តន៍នេះ លំហមេទ្រិចពេញ K គឺជាសំណុំនៃអនុគមន៍ ហើយអនុវត្តន៍ F បំប្លែងអនុគមន៍មួយទៅជាអនុគមន៍ផ្សេងទៀត ( យើងតែងតែនិយាយថា F ជាប្រមាណវិធី )។ វិធីបង្ហាញដ៏អស្ចារ្យ គឺដោះស្រាយរកចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល បើសិនជាមាន គឺជាចំណុចនឹងនៃប្រមាណវិធី F។

អ្នកអាចនឹងបានសិក្សានូវសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញៗ ហើយបានរៀនពីល្បិចក្នុងការស្វែងរករូបមន្តដើម្បីស្រាយរកចម្លើយ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទាំងអស់នេះ ពិតជាអាចដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តបាន ប៉ុន្តែសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដទៃទៀត គ្មានរូបមន្តដើម្បីដោះស្រាយឡើយ។ ដូច្នេះកត្តាសំខាន់នៃទ្រឹស្ដីបទនេះ ធានាអះអាងពីភាពកើតមានឡើងនៃចម្លើយ។ អ្នកមិនគួរភ្ញាក់ផ្អើលពេកទេ ដែលថាគ្មានរូបមន្តក៏អាចផ្ដល់ចម្លើយទៅស្ទើរតែគ្រប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទាំងអស់។ ជាការពិត សូមចាប់អារម្មណ៍នូវសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញដូចតទៅ y'=e^{-x^2} ចម្លើយរបស់វារកឃើញដោយ y=\int e^{-x^2}dx អ្នកអាចនឹងចាំថា បម្រាប់ក្នុងមេរៀនប្រូបាប៊ីលីតេ និង ស្ថិតិបាននិយាយថា គ្មានរូបមន្តណាដែលអាចធ្វើព្រីមីទីវលើអនុគមន៍ e^{-x^2} បានទេ។ ដូច្នេះ ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវដោះស្រាយដោយប្រើតារាងលេខនៅពេលរៀនពីច្បាប់ន័រម៉ាល់?

III. ការអនុវត្តន៍ក្នុងការពង្រួមរូបភាព

វិធីដ៏ល្អបំផុតក្នុងការទុករូបភាពមួយក្នុងអង្គចងចាំ ជាការរក្សាពណ៌នៃបណ្ដុំចំណុចតូចៗទាំងឡាយនៃរូបភាព។ មានបញ្ហាពីរទាក់ទងនឹងវិធីសាស្ត្រនេះ៖

  • វាត្រូវការគុណភាពនៃអង្គចងចាំដ៍ធំសម្បើម
  • បើយើងព្យាយាមពង្រីករូបភាព ( ឧទាហរណ៍ ការពង្រីកដើម្បីដាក់ក្នុងស៊ុបធំៗ ) នោះបណ្ដុំចំណុចតូចៗនោះនឹងរីកទៅជាការេធំនឹងដែរ ហើយយើងនឹងបាត់បង់នូវព័ត៌មានពីទម្រង់ពិតប្រាកដនៃការេ នីមួយៗ។

តើគន្លឹះជាអាទិភាពនៃការបង្រួមរូបភាពជាអ្វី? វានឹងលេចឡើងនូវព័ត៌មានតិចជាងរូបភាពដើម ប៉ុន្តែក្នុងការអនុវត្តន៍តាមវិធីដ៏ឆ្លាតវៃជាងនេះ នោះភ្នែកទទេមិនអាចមើលឃើញថារូបភាពសង្កេតនោះ កាន់តែព្រាលនោះទេ។

អ៊ិនធឺណែតបានបន្ថែមនូវតម្រូវការសម្រាប់ការបង្រួមរូបភាពនេះ។ តាមពិតរូបភាពបានធ្វើអោយល្បឿនក្នុងការបញ្ជូនទិន្នន័យលើគេហទំព័របានលឿន។ ដូច្នេះ ចំពោះល្បឿនរបស់អ៊ិនធឺណែតកាន់តែប្រសើរ ប្រសិនបើរូបភាពមានទំហំកាន់តែតូច កាន់តែប្រសើរ។ នៅពេលអ្នកមើលរូបភាពក្នុងអេក្រង់កុំព្យូទ័ររបស់អ្នកមិនអាចមើលឃើញទេថា វាមានភាពព្រាលក្នុងនោះ។ ប៉ុន្តែបើសិនជាអ្នកព្យាយាមពង្រីកវាឬពង្រីកដើម្បីដាក់ក្នុងអាល់បុម នោះយើងនឹងឃើញថារូបភាពនឹងអន់ជាងមុនមិនខាន។ មានប្រភេទរូបភាពសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលបានបង្រួម ហើយទ្រង់ទ្រាយរូបដែលយើងច្រើនជួបប្រទះជាងគេគឺ JPEG ដែលបានក្លាយជាស្ដង់ដានៃរូបភាពនៃម្រាមដៃ។ ការសរសេររូបភាពក្នុងទ្រង់ទ្រាយ JPEG ជាអនុគមន៍លោការីតនៃគណិតវិទ្យា។

ក្នុងរូបភាពនេះ យើងនឹងចាប់អារម្មណ៍តាមវិធីសាស្ត្រដទៃទៀតដែលមានបទពិសោធន៍ជាង។ វិធីសាស្ត្រនេះណែនាំដោយ Barnsley ត្រូវបានគេហៅថា iterate function systems។ ក្នុងគោលគំនិតនៃវិធីសាស្ត្រ គឺប្រហែលរូបភាពមួយជាកម្មបទនៃធរណីមាត្រ។ ដើម្បីអោយមានវត្ថុគ្រប់គ្រាន់ល្មមយើងនឹងមិនអាចកំណត់ខ្លួនឯងបានទេ ពីកម្មបទធរណីមាត្រសាមញ្ញដែលបន្ទាត់និងខ្សែកោងរាបស្មើប៉ុន្តែវត្ថុគម្រូដ៏ ស៊ាំញ៉ាំដែលដូចជា fern ( fern ជារុក្ខជាតិដែលមានស្លឹកវែងស្រឡោនគ្មានផ្កាដូចក្នុងរូប ) និងដូចនឹងកម្រាលព្រំរបស់លោក Fern Sierpinski ។

យើងនឹងពន្យល់ ពីគោលគំនិតនៃដំណើរ ការបង្រួមលើកម្រាលព្រំ Sierpinski (រូបខាងឆ្វេង) មើលទៅវាដូចជាវត្ថុស៊ាំញ៉ាំពីដំបូង។ តើយើងអាចរក្សាទុកបានយ៉ាងដូចម្ដេចក្នុងអង្គចងចាំកុំព្យូទ័រក្នុងរបៀបសន្សំសំចៃ។ របៀបដែលល្អបំផុតគឺរក្សាទុកក្នុងកម្មវិធីមួយដើម្បីងាយទាញយកប្រើពេលត្រូវការ។

ដើម្បីរក្សាទុកក្នុងកម្មវិធីនោះយើងត្រូវតែយល់ពីលក្ខណះរបស់វត្ថុ ក្នុងធរណីមាត្រ។ ចូរសង្កេតមើលកម្រាលព្រំ Sierpinski ៖ វាបញ្ជូលគ្នា ដោយព្រំ Sierpinski បី (មានន័យថា ជាការចម្លងព្រំបីពីខ្លួនវា) ដែលពាក់កណ្ដាលនៃខ្លួនវា (ទាំងកម្ពស់ និងប្រវែង)។ តាមពិត ចាប់ផ្ដើមពីព្រំ Sierpinski យើងអាចកសាងបានព្រំទី២ទៀត ជាមួយនឹងដំណើរការដូចខាងក្រោម៖

  • យើងបង្រួញព្រំ Sierpinski ដោយទុកពាក់កណ្ដាលនៃខ្លួនវា ពីខាងឆ្វេងទម្លាក់ចុះក្រោម
  • យើងធ្វើការចម្លងលើកទីពីរនៃពាក់កណ្ដាលព្រំ Sierpinski នោះ ហើយបិទវានៅខាងស្ដាំ (នៃព្រំមុន)
  • យើងធ្វើការចម្លងលើកទីបីនៃពាក់កណ្ដាលព្រំ Sierpinski នោះ ហើយបិទវានៅនឹងពាក់កណ្ដាលកំពូលនៃព្រំពីរមុន។

រូបភាពទីពីរដែលយើងបានកសាង គឺដូចបេះបិទទៅនឹងកម្រាលព្រំ Sierpinski ដំបូង ។ ដូចនេះ កម្រាលព្រំ Sierpinski គឺជាចំណុចនឹងក្នុងដំណើរនេះ។ ឥឡូវបញ្ជូលវាក្នុងគណិតវិទ្យា។ ចូរចង់ចាំថា ប្រវែងនៃកម្រាលព្រំ Sierpinski ស្មើគ្នានឹងកម្ពស់របស់វា។ ដូច្នេះ យើងកាត់ចេញពីចំណុចដើមនៅជ្រុងខាងឆ្វេងកម្រាលព្រំ Sierpinski ដូច្នេះ បាត និងកំពស់មានប្រវែងស្មើ 1។

យើងក៍ទទួលយកផងដែរ នូវការបំប្លែងខាងក្រោម កំណត់ក្នុង \mathbb{R}^2:

    \[T_1(x,y)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right),\qquad T_2(x,y)=\left(\frac{x}{2}+\frac12,\frac{y}{2}\right),\qquad T_3(x,y)=\left(\frac{x}{2}+\frac14,\frac{y}{2}+\frac12\right)\]

បើ S ជាកម្រាលព្រំ Sierpinski នោះយើងបាន S=T_1(S)\cup T_2(S)\cup T_3(S)

តើមានសំណុំរង B ណាផ្សេងទៀតទេនៃប្លង់ ដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នា គឺ

(1) B=T_1(B)\cup T_2(B)\cup T_3(B)? យើងនឹងឃើញថាវាគ្មានទេ។ ដូចនេះយើងបានបង្ហាញនូវចរិកលក្ខណៈនៃកម្រាលព្រំ Sierpinski ដែលមានតែសំណុំរង B ប៉ុណ្ណោះ នៃប្លង់ដែល (1) ពិត។ តើយើងបានធ្វើអ្វី? យើងត្រូវតែកសាងអនុគមន៍មួយដែលជាសំណុំរងនៃ B នៃប្លង់ត្រូវគ្នានឹងសំណុំរង T_1(B)\cup T_2(B)\cup T_3(B)។ យើងហៅអនុគមន៍នេះថា W។ វាកំណត់ដោយ៖

(2) B\to W(B)=T_1(B)\cup T_2(B)\cup T_3(B), ហើយយើងបានសង្កេតថា S=W(S) ដែលមានន័យថា S ជាចំណុចនឹងនៃអនុគមន៍នេះ។ យើងបានប្រកាសថា យើងចង់ពិសោធន៍ថាកម្រាលព្រំ Sierpinski គឺជាចំណុចនឹងតែមួយគត់ក្នុងអនុគមន៍នេះ។ ឥឡូវចូរសាកល្បងនឹងការេ C_0 ដូចក្នុងរូប 1(a)។ រូបភាពរបស់វាគឺ C_1 ក្នុងរូប 1(b)។ យើងអនុវត្តន៍ដូចគ្នាចំពោះ C_1 និងទទួល C_2, C_3-C_5 (ក្នុងរូបភាពពី 1(c)-(f))

តាមរយៈរូបនេះ យើងសង្កេតឃើញវត្ថុបីយ៉ាង៖

  1. គ្មានសំណុំណាមួយនៃ C_0,\ldots,C_5 ជាចំណុចនឹងក្នុងសំណុំ W ទេ ។
  2. យើងអាចនឹងបន្តដំណើរការឥតឈប់ឈរ នោះផលិតផលនៃស្វ៊ីតអនន្តនៃសំណុំ (C_n) ដែល C_{n+1}=W(C_n)។
  3. ស្វ៊ីត (C_n) ហាក់ដូចជារួមយ៉ាងលឿនទៅរកកម្រាលព្រំរបស់ Sierpinski។ តាមពិត ភ្នែករបស់យើងមិនអាចបែងចែកថា C_{10} ខុសពី S ទេ។ ដូចនេះជំនួសអោយ S នូវរូបភាពរបស់យើង កម្មវិធីសាងសង់ឡើងវិញនូវររូបភាពរបស់យើងផលិត C_{10}។ ហើយបើសិនជាភាពលះវាល្អជាងមុននោះ យើងអាចនឹងបន្ថែមអោយវាឈប់នៅ C_{20} ឬ C_{30}។ ដូចនេះ ភាពដូចគ្នាវាកាន់តែតូចទៅៗ ដែលកម្មវិធីអាចបន្តបង្កើត S ដល់ចំណុចជាក់លាក់ណាមួយនោះ។

មិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែយើងអាចពិសោធន៍ទៀតថា វាអាចដំណើរការបាននឹងសំណុំថ្មីៗ។ ឧទាហរណ៍ទី២ ចូរចាប់អារម្មណ៍នូវរូបភាពទី២។ កំណត់សំគាល់ (i),(ii) និង (iii) ខាងលើអនុវត្តន៍ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។

យើងបានឃើញហើយថា ទ្រឹស្ដីបទ Banach នៃចំណុចនឹង អនុវត្តន៍ចំពោះការសាសង់លើលំហមេទ្រិចពេញ ។ យើងបានកំណត់អនុគមន៍ W ក្នុង (2) លើសំណុំរងនៃកន្លែងមួយ។ ចំពោះលំហមេទ្រិច យើងនឹងរើសយក K ជាសំណុំ (បិទ) នៃសំណុំរងរួមនៃកន្លែងនោះ។ យើងនឹងបង្ហាញនូវចម្ងាយលើ K ដែលត្រូវបានគេហៅថាចម្ងាយ Hausdorff d_H(B_1,B_2)។ និយមន័យនៃចម្ងាយ Hausdorff រវាងសំណុំរងពីរ B_1 និង B_2 គឺជារូបមន្តស្មុគស្មាញ ហើយមិនច្បាស់លាស់ទៀត ដូចនេះយើងនឹងពន្យល់តាមសញ្ញាណក្នុងរបៀបផ្សេងទៀត។ យើងចាប់ផ្ដើមដោយពន្យល់នូវ អត្ថន័យអ្វីដែលយើងចង់ផ្ដល់អោយសំណើរនោះ d_H(B_1,B_2)\leq\varepsilon ( ទោះប្រសិនបើ ( យើងមិនបានកំណត់ d_H(B_1,B_2) ក៍ដោយ ) វាគ្រាន់តែជាអត្តន័យដែល ប្រសិនបើភ្នែករបស់យើងឃើញច្បាស់ថា \varepsilon នោះ វាមិនអាចបែងចែកអោយដាច់បានទេថា B_1 ឬ B_2 ក្នុងគណិតវិទ្យា d_H(B_1,B_2)\leq\varepsilon គួរតែមាន (3) \forall P\in B_1\;\exists Q\in B_2\; d(P,Q)\leq\varepsilon និង (3) \forall P'\in B_2\;\exists Q'\in B_1\; d(P',Q')\leq\varepsilon។ ( d នេះជាចម្ងាយអឺគ្លីដ រវាងសំណុំទ័លបិទពីរក្នុង \mathbb{R}^2)។ តាមរយៈនេះ គេអាចអោយនិយមន័យមិនផ្ទាល់មួយ។

និយមន័យចម្ងាយ Hausedroff រវាងសំណុំទ័លពីរ B_1 និង B_2 ជិតបំផុត ចំពោះគ្រប់ \varepsilon\geq 0 ដូចបានបញ្ជាក់ក្នុងចំណុច (3)។

យើងអាចជឿជាក់លើខ្លួនយើងផ្ទាល់ថា អនុគមន៍ W ត្រូវបានក៍សាងឡើង។ តាមពិត ឧបមាថា d_H(B_1,B_2)\leq\varepsilon បន្ទាប់មកយើងអាចបង្ហាញថា d_H(W(B_1),W(B_2))\leq\frac{\varepsilon}{2} តាង P\in W(B_1) ។ មាន i\in\{1,2,3\} និង P_1\in B_1 ដែល P=T_i(P_1), d_H(B_1,B_2)\leq\varepsilon នោះមាន Q_1\in B_2 ដែល d(P_1,Q_1)< \varepsilon។ តាង Q=T_i(Q_1)\Rightarrow Q\in W(B_2) និង d(P,Q)=d(T_i(P_1),T_i(Q_1))=\frac12 d(P_1,Q_1)\leq\frac{\varepsilon}{2}។ ដូចគ្នាដែរ បើយើងចាប់ផ្ដើមជាមួយនឹង P'\in W(B_2) នោះមាន Q'\in W(B_1) ដែល d(P',Q')\leq\frac{\varepsilon}{2}។

ដំណើរការនេះ បានសម្របនឹងការបង្រួមរូបភាពពិត ( មើល [K] ឬ [RS] )។ វិធីសាស្ត្រនេះ បង្កើតបានរូបភាពដែលមានគុណភាពខ្ពស់ នៅពេលដែលរូបភាពមានលក្ខណះព្រៀលច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អត្រានៃការបង្រួម មិនល្អ មិនស្អាតដូចជាស្រឡាយ JPEG ទេ។ ដំណើការបង្កើតរូបភាពនេះ អន់ខ្សោយណាស់ក្នុងក្លាយជាការចាប់អារម្មណ៍។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពងាយស្រួលនៃគោលគំនិតរបស់វាទាំងអស់ ជាមួយនឹងអំណាចដែលនៅសល់។

4. ការអនុវត្តន៍ដ៍ភ្ញាក់ផ្អើល៖ វិធាន PageRank

ភាពជោគជ័យរបស់ Google ជាម៉ាស៊ីនរុករកវិធាន The PageRank ។ ក្នុងវិធាននេះ គណនានូវចំណុចនឹងនៃប្រមាណវិធីលីនេអ៊ែរលើ \mathbb{R}^n ដែលបង្កើតឡើង ហើយចំណុចនឹងនេះ ( ដែលជាវ៉ិចទ័រ ) ផ្ទៀងផ្ទាត់តាមលំដាប់នៃទំព័រ។ ក្នុងការអនុវត្តន៍ចំណុចនឹង ( ដែលជា eigenvector នៃ eigenvalue គឺ ១ ) ជាការគណនារកតម្លៃប្រហែលនៃ P_n សម្រាប់ផ្ទៀងផ្ទាត់ពេល n កាន់តែធំ។ យើងក៏បានអញ្ជើញអ្នកអានដ៏គួរអោយចាប់អារម្មណ៍មកមើលលំអិតក្នុងការពិពណ៌នាដ៏ខ្លី ពីរបៀបដែល Google ធ្វើការនោះ។

5. សរុបសេចក្ដី

អ្វីដែលយើងបានដឹងហើយក្នុងការពណ៌នាខ្លីៗពីរបៀបចាប់ផ្ដើមនៃល្បែងធម្មតា ដែលយើងបានស្វែងយល់ថាជាគោលគំនិតដ៏អស្ចារ្យដែលនាំទៅរកភាពជោគជ័យនៃគណិតសាស្ត្រនិងបច្ចេកទេស។ នៅពេលដែលយើងស្វែងរកចម្លើយតែមួយគត់សម្រាប់លំហាត់ ឥឡូវនេះវាក្លាយជាវិធីសាស្ត្រស្តង់ដាក្នុងកម្រិតជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា ដើម្បីសាកល្បងស្រាយបញ្ជាក់នូវលំហាត់ទាំងអស់នោះ តាមលក្ខណៈនៃចំណុចនឹងនៃប្រមាណវិធីពិសេសបង្កើតឡើងសម្រាប់គោលគំនិតនោះ។

យើងក៏បានឃើញផងដែរនូវសារប្រយោជន៍នៃការខិតចូលដែលថាទ្រឹស្ដីបទបានផ្តល់នូវវិធីសាស្ត្រអនុវត្តន៍ដ៏មានប្រសិទ្ធិភាពដើម្បីបង្កើតនូវគម្រូស្រាយបញ្ជាក់មួយ ជាដែនកំណត់នៃស្វ៊ីតនៅពេលដែលវារួមលឿន។

វិភាគគឺជាការសិក្សាលើអនុគមន៍។ អនុគមន៍ជាធម្មតាកំណត់ដោយលេខ។ ក្នុងការគណនាអនុគមន៍ច្រើនអថេរ យើងបង្កើតនូវកំណត់សំគាល់លើអនុគមន៍វ៉ិចទ័រ ដែលធាតុក្នុង \mathbb{R}^n។ ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាយើងឈប់ត្រឹមធាតុនៃ \mathbb{R}^n? យើងក៍មានបទពិសោធន៍ផងដែរថា អ្នកគណិតវិទ្យាចូលចិតបង្កើតនូវកំណត់សំគាល់នៃអនុគមន៍ ហើយបំប្លែងវាអោយក្លាយជាកំណត់បាន ជាឧទាហរណ៍ លើសំណុំនៃសំណុំហើយនិងលើសំណុំនៃអនុគមន៍ជាដើម។ ការវិភាគលើសំណុំនៃអនុគមន៍ ឥឡូវនេះក្លាយជាជំពូកដ៏សំខាន់ក្នុងការវិភាគក្នុងសម័យទំនើបនេះ ហៅថា functional analysis ដែលជាស្ដង់ដាសម្រាប់ការសិក្សាថ្នាក់ឧត្តម។

អ្នកក៏ត្រូវបានអញ្ជើញអោយបង្កើតនូវការតភ្ជាប់ជាមួយនូវ ដំណើរការច្រំដែលដែលអ្នកបានរកឃើញ។ ជាឧទារណ៍ វាអាចជាដំណើរការច្រំដែលក្នុងវិមាត្រមួយដែលត្រូវគ្នានឹងស្វ៊ីត Héron ដើម្បីបង្កើតបានជាឫសការេ។ ភាពរួមដ៏ឆាប់រហ័សនៃធរណីមាត្រ ក៏អាចត្រូវបានគេយល់ផងដែរពីចំណុចនៃការធ្វើបទបង្ហាញនេះ៕

ឯកសារយោង

[B] M. F. Barnsley, Fractals everywhere, San Diego, Academic Press, 1988.

[K] J. Kominek, Advances in fractal compression for multimedia applications, Multimedia Systems Journal, vol. 5,n 4, 1997, 255–270.

[R] C. Rousseau, Point fixe de Banach (in French), Accromath 5, hiver-printemps 2010 (www.accromath.ca).

[R2] C. Rousseau, How Google works? Klein vignette (www.kleinproject.org).

[RS] C. Rousseau and Y. Saint-Aubin, Mathematics and technology, SUMAT Series, Springer-Verlag, 2008 (A French version of the book, Mathéematiques et technologie, exists, published in the same series.)

មីក្រូទស្សន៍របស់ Banach ដើម្បីស្វែងរកចំណុចថេរមួយ (PDF)

Leave a Reply

អាសយដ្ឋាន​អ៊ីមែល​របស់​អ្នក​នឹង​មិន​ត្រូវ​ផ្សាយ​ទេ។ វាល​ដែល​ត្រូវ​ការ​ត្រូវ​បាន​គូស *