Le successioni di Goodstein: la potenza di una deviazione passando per infinito

Autori originali sono Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello e Susanna Epp.

Studiare l’evoluzione di un fenomeno natu- rale spesso conduce a studiare successioni numeriche, specialmente il loro comportamento a lungo termine e se esse alla fine convergono. Le successioni polinomiali, esponenziali e logaritmiche si incontrano frequentemente nella scuola secondaria, ma alcune altre successioni
con definizioni molto semplici mostrano un comportamento molto più complesso. Alcuni esempi includono le successioni caotiche che emergono nello studio dei sistemi dinamici (si veda [1]) e la successione di Siracusa (o successione 3n + 1), introdotta da Luther Collatz nel 1937. La successione di Siracusa ha messo in difficoltà i matematici per decenni. Nonostante il gran numero di valori che sono stati calcolati, è sconosciuto ancora oggi se la successione sia infinita o finita e se termini sempre in 1 (si veda [2]).

Le successioni considerate in questa vignette sono state introdotte dal logico inglese R. L. Goodstein nel 1944 (si veda [3]) e mostrano un tipo diverso di comportamento insolito. I valori iniziali aumentano così rapidamente che siamo portati a credere che essi tendano ad infinito, ma, sorprendentemente, essi finiscono sempre per decrescere e infine raggiungono lo zero. Dimostrare questo risultato richiede una generalizzazione del principio di buon ordinamento per gli interi (si veda [4]) ai numeri transfiniti, ma l’idea di base non è difficile da comprendere. Per spiegarla, seguendo Hodgson (si veda [5]), introduciamo prima una successione, detta successione di Goodstein debole, che è più semplice ma strettamente legata ad una successione di Goodstein.

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