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Mathematics of Planet Earth
Each month, we will feature a site that we feel is relevant to aims of the Klein Project.
The first site of the month is dedicated to: Mathematics of Planet Earth (MPE). MPE is an initiative of mathematical science organizations around the globe to demonstrate the ways in which mathematical sciences may help us to solve our world’s problems (by lopez). Take a look at the MPE initiative.
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Votazione equa: la ricerca dell’oro
Gabriel Rosenberg e Mark Iwen
7 Giugno 2012
È un fatto poco conosciuto che, nelle Olimpiadi invernali del 2002, siano state assegnate due medaglie d’oro per la stessa competizione di pattinaggio di figura a coppie. Queste due medaglie sono state alla fine il risultato di un votazione contenziosa che inizialmente risultava nei chiari favoriti del pubblico che non hanno vinto la medaglia d’oro. L’oltraggio su questa decisione è stato così grande che, alla fine, il Comitato Olimpico Internazionale (COI) ha dovuto, per calmare lo scandalo, assegnare una seconda medaglia d’oro alla coppia di pattinaggio di figura che si trovava al secondo posto.
Come risultato secondario, è stato cambiato il sistema di voto, per decidere quali pattinatrici di figura meritino quali medaglie. (N.B. Prima del 2003, i giudici assegnavano individualmente il punteggio ai partecipanti e usavano questi risultati per classificare gli atleti. Queste classifiche (non punteggi) venivano poi combinate per assegnare i premi nel complesso).
Immagina di essere nel Comitato Olimpico Internazionale del 2003 e che ti sia stato chiesto di sviluppare un sistema di voto migliore per giudicare le competizioni di pattinaggio di figura in futuro. Quali sistema di voto sceglieresti per classificare i pattinatori di figura? Come potresti essere sicuro che il sistema di voto sia equo? Senza sorpresa, la matematica può aiutarci a rispondere a queste domande.
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Calculators, Power Series and Chebyshev Polynomials
Originating author is Graeme Cohen.
Of all the familiar functions, such as trigonometric, exponential and logarithmic functions, surely the simplest to evaluate are polynomial functions. The purposes of this article are, first, to introduce the concept of a power series, which can be thought of as a polynomial function of infinite degree, and, second, to show their application to evaluating functions on a calculator. When a calculator gives values of trigonometric or exponential or logarithmic functions, the most straightforward way is to evaluate polynomial functions obtained by truncating power series that represent those functions and are sufficiently good approximations. But there are often better ways. We will, in particular, deduce a power series for 
and will see how to improve on the straightforward approach to approximating its values. That will involve Chebyshev polynomials, which are used in many ways for a similar purpose and in many other applications, as well. (For trigonometric functions, the Cordic algorithm is in fact often the preferred method of evaluation—the subject of another article here, perhaps.)
In the spirit of Felix Klein, there will be some reliance on a graphical approach. Other than that, we need only some basic trigonometry and calculus.
Qual è il modo per impacchettare le arance? La congettura di Keplero sull’impacchettamento delle sfere
Christiane Rousseau
Qual è l’impacchettamento più fitto delle sfere Keplero ha congetturato che fosse quello che si osserva nelle arance al mercato e che è chiamato reticolo cubico a facce centrate (Figura 1). Al Congresso Internazionale dei matematici nel 1900, David Hilbert ha tenuto una conferenza molto famosa nella quale ha presentato 23 problemi che avrebbero avuto una profonda significatività per il progresso dellascienza matematica nel ventesimo secolo.
Il problema dell’impacchettamento più denso delle sfere, chiamato anche congettura di Keplero, fa parte del 18° problema di Hilbert. La congettura di Keplero è stata dimostrata soltanto nel 1998 da Thomas Hales e i dettagli della dimostrazione sono stati pubblicati nel 2006.
Das schockierende Verhalten von strömenden Fluiden
Von David Mumford and Christiane Rousseau
Aus dem Englischen übersetzt von Anna Muff (Universität Würzburg)
Die Schockwelle durch ein Überschall-Jet verursacht
Vorwort: Dieser Klein-Artikel ist anspruchsvoller als andere. Dennoch beschreibt er auf wenigen Seiten wie eines der schwierigsten offenen Probleme des Anfangs des 21. Jahrhunderts mit einfachen Worten erklärt werden kann. Der Klein-Artikel enthält bereicherndes Material, das zum Lesen gewählt werden oder übersprungen werden kann. Die Herausgeber des Klein-Blogs zögerten eine Weile, bevor sie diesen Artikel posteten. Nachdem er aber mit Lehrern in zwei Klein-Workshops getestet wurde, die danach sagten, dass sie gerne die Herausforderung von schwierigeren Klein-Artikeln annehmen, wurde beschlossen sie auf dem Blog zu testen. Die Herausgeber sind gespannt auf Kommentare und darauf, ob jemand von dem Thema motiviert wurde.
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Dimension
Von Christiane Rousseau
Übersetzt aus dem Englischen von Eva Klein (Universität Würzburg)
Wie misst man die Größe eines geometrischen Objekts? Für Teilmengen einer Ebene verwenden wir dazu oft Umfang, Länge, Flächeninhalt, Durchmesser, etc. Diese Maßbegriffe reichen jedoch nicht aus, um Fraktale zu beschreiben. Fraktale Objekte sind sehr komplexe geometrische Objekte, für deren Komplexität wir eine Quantifizierungsmöglichkeit suchen müssen. Zu diesem Zweck bietet sich der Begriff der Dimension an. Dimension liefert uns ein Maß für die Komplexität eines Fraktals. Der Dimensionsbegriff selbst geht dabei durch Generalisierung und Formalisierung aus unserem intuitiven Dimensionsbegriff hervor, den wir verwenden, wenn wir von 1D, 2D oder 3D sprechen. Im Folgenden werden wir einige Möglichkeiten für die Beschreibung fraktaler Objekte anhand zweier Beispiele betrachten, dem Sierpinski-Teppich und der Kochschen Kurve (siehe Abbildungen oben links).
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Symmetrie – Schritt für Schritt
Die Autorin des Originaltexts ist Anna Cannas da Silva.
Ins Deutsche übersetzt von Katrin Veh und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)
Symmetrie hat die Menschheit schon immer fasziniert und ist ihr in der Architektur, der Kunst, der Technik und der Wissenschaft von Nutzen gewesen. Seit Tausenden von Jahren wurden symmetrische Muster für die Herstellung von Textilien, Körben, Bodenbelägen, Tapeten, Geschenkpapier und so weiter genutzt. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts fand der russische Mathematiker und Mineraloge Yevgraf Fyodorov heraus, dass 17 Symmetrierguppen für Muster in der Ebene existieren [WPG]. Daher können wir beispielsweise genau 17 verschiedene Tapeten hinsichtlich dieser Klassen erhalten und nicht mehr! Bemerkenswert ist auch, dass alle diese Klassen in der Ornamentkunst der Antike gefunden werden können.
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Von der Rekursion zur Induktion
Autoren: Michèle Artigue und Ferdinando Arzarello.
Übersetzt von Eva Klein und Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg)
Hat man ein quadratisches Gitterraster gegeben, so ist es leicht dort Quadrate einzuzeichnen, deren Ecken jeweils auf Schnittpunkten der Rasterlinien liegen. Aber ist dies auch für andere regelmäßige Polygone, z.B. ein Oktagon, möglich? Die Antwort lautet „Nein“ und kann für das Achteck wie folgt bewiesen werden (Payan, 1994):
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