Die Autoren des Originaltextes sind Alberto A. Pintoa (Universität Porto, cLIAAD-INESC Porto LA) und Telmo Parreira (Universität Minho, cLIAAD-INESC Porto LA).
Warst du je frustriert von dem Mangel an Auswahl, wenn du etwas kaufen gehst? Warum neigen die Produzenten dazu ihre Produkte so ähnlich wie möglich zueinander zu gestalten? Wenn wir modellieren wie Käufer in einer Stadt entscheiden, in welchem Geschäft sie ihre Einkäufe tätigen, führt uns die resultierende Mathematik zum Gesetz von Hotelling. Dieses besagt, dass die Gestaltung eines Produkts ähnlich zum Konkurrenten tatsächlich eine rationale Entscheidung ist. Wir werden ebenso in die Mathematik der Spieltheorie und des Nash-Gleichgewichts geführt.
1 Einleitung
Betrachten wir ein Dorf, in dem fast alle Einwohner entlang der Hauptstraße wohnen und in dem es lediglich zwei Geschäfte gibt: Das Geschäft von Manuel und das von Joaquim. Die Dorfbewohner können ihre Produkte in beiden Geschäften kaufen.
Wir identifizieren die Hauptstraße mit dem Geradenabschnitt $[0,L]$ und um das Modell zu vereinfachen nehmen wir an, dass Manuels Geschäft in dem Punkt $0$ liegt und Joaquims Geschäft in dem Punkt $L$ liegt. Die Geschäfte liegen also an den beiden Enden der Straße. Wir bezeichnen mit $c_M$ und $c_J$ die Stückkosten des jeweiligen Verkäufers (Geschäfts) und mit $p_M$ und $p_J$ die Stückpreise der gleichen Produkte in den Geschäften von Manuel und Joaquim.
Antonio, der in dem Haus mit der Adresse $d \in \{0,1,…,L\}$ in der Strasse wohnt, hat die Kosten $p_M + dt$, wenn er in Manuels Geschäft kauft und die Kosten $p_J + (L-d)t$, wenn er in Joaquims Geschäft kauft. Wobei $t$ die Wegkosten bezeichnet, die für Antonio anfallen, wenn er sich in die eine oder andere Richtung bewegt. Antonio entscheidet sich in dem Geschäft zu kaufen, in dem die Kosten am geringsten sind.
Folglich, wenn $$p_M + dt < p_J + (L – d)t$$ wird Antonio in Manuels Geschäft einkaufen und, wenn $$p_M + dt > p_J + (L – d)t$$ wird er in Joaquims Geschäft kaufen. Diese Art von Wettbewerb zwischen zwei Anbietern wird in dem Hotelling Modell beschrieben ([1],[4]).
Nun nehmen wir an, dass jeder Dorfbewohner eine Einheit eines Produkts kauft, wenn er sich zu einem der Geschäfte bewegt. Somit ist die Anzahl von in Manuels Geschäft verkauften Einheiten $k$ gleich mit der Anzahl von Leuten, die sein Geschäft besuchen. Sein Gewinn $k(p_M – c_M)$ entspricht $k$ (Anzahl von verkauften Produkteinheiten) mal dem Ertrag $p_M – c_M$, den er von jedem Verkauf erhält. Der Gewinn von Joaquim wird auf gleiche Weise berechnet. Welche Preise $p_M$ und $p_J$ sollten Manuel und Joaquim berechnen um ihren Gewinn zu maximieren?
Sollten Manuel und Joaquim kooperieren und hohe Preise verlangen? Wenn sie dies tun würden, hätte jeder von ihnen den Anreiz den eigenen Preis zu senken, da dies den eigenen Marktanteil erhöhen würde und damit auch den jeweiligen Gewinn. Da sie konkurrierend und nicht kooperierend sind, werden sie diesem Anreizen ihre Preise zu ändern folgen. Dieses Phänomen wird zu einer Reihe von aufeinanderfolgenden Preisänderungen durch Manuel und Joaquim führen, da diese dem Anreiz folgen ihren Preis zu ändern unter Berücksichtigung der Preise, die sie beim jeweils anderen beobachtet. Das relevante auftretende Problem besteht darin zu ermitteln, ob dieser dynamische Prozess von Preisänderungen zu einem Gleichgewichtspreis führt. Die Lösung dieses Problems ist wohlbekannt: das Nash-Gleichgewicht. Das Nash-Gleichgewicht ist ein strategisches Optimum, d.h. die Preise von Manuel und Joaquim im Nash-Gleichgewicht sind von der Art, dass keiner von beiden mehr einen Anreiz hat den eigenen Preis zu ändern. Wir werden im Folgenden erklären, wie man den Nash-Gleichgewichtspreis von Manuel und Joachim berechnet.
2 Hotellings Modell
Abhängig von den Preisen $p_M$ und $p_J$, die Manuel und Joaquim in ihren Geschäften verlangen, nehmen wir an, dass es einen indifferenten Kunden gibt, der in einem Haus mit der Adresse $ d_0 \in [0,L]$ wohnt. Für diesen sind die Kosten um zu Manuels Geschäft zu gehen und ein Produkt zu kaufen gleich mit den Kosten um in Joaquims Geschäft das gleiche Produkt zu kaufen (siehe Abbildung 1), das heißt:
$$p_M + td_0 = p_J + t(L – d_0)$$
Abbildung 1. Hotelling’s street
Wir bemerken, dass die Position des indifferenten Kunden $d_0$ dem Schnittpunkt der Geraden $p_M + td$ und $p_J + t(L-d)$ mit unabhängiger Variable $d$ entspricht. Der indifferente Kunde hat also die Adresse:
$$ d_0 = \frac{tL + p_J – p_M}{2t}$$
Wenn $d_0 \leq 0$, wird niemand in Manuels Geschäft kaufen. Wenn $d_0 \geq L$, wird wiederum niemand in Joaquims Geschäft kaufen. Für $ d_0 \in (0,L)$ haben beide Geschäfte Kunden und der Markt ist wettbewerbsfähig.
Angenommen der Markt sei wettbewerbsfähig, dann kaufen Dorfbewohner, die im Intervall $[0,d_0]$ wohnen, in Manuels Geschäft ein und Bewohner, die im Intervall $[d_0,L]$ wohnen kaufen in Joaquims ein. Wir nehmen an, dass $N$ Dorfbewohner entlang der Straße gleichmäßig verteilt wohnen, sodass die Anzahl von Kunden in Manuels Geschäft $d_0 \frac{N}{L}$ entspricht und die Anzahl von Kunden, die in Joaquims Geschäft kaufen, $(L – d_0) \frac{N}{L}$. Somit entspricht Manuels Gewinn:
$$\pi_M (p_M) = (p_M-c_M)d_0 \frac{N}{L} = (p_M-c_M) \left(\frac{tL+p_J-p_M}{2t} \right) \frac{N}{L}$$
Und äquivalent Joaquims Gewinn:
$$\pi_J (p_J) = (p_J-c_J)(L-d_0) \frac{N}{L} = (p_J-c_J) \left(\frac{tL+p_M-p_J}{2t} \right) \frac{N}{L}$$
Manuel und Joaquim wollen ihre Preise $p_M$ und $p_J$ so bestimmen, dass sie ihren Gewinn $\pi_M (p_M)$ und $\pi_J (p_J)$ maximieren. Zu diesem Zweck erhalten wir mit $x=p_M$ und $f(x)=pi_M (p_M)$, dass
$$f(x) = (x-c_M) \left(\frac{tL+p_J-x}{2t} \right) \frac{N}{L}$$
$$ = -\frac{N}{2tL}x^2 + \frac{N(tL+p_J+c_M)}{2tL}x – \frac{N(c_MtL+c_Mp_J)}{2tL}$$
Da der Koeffizient vor dem Term vom Grad zwei negativ ist, hat die Funktion $f$ ein eindeutiges Maximum, welches im Mittelpunkt der zwei Nullstellen $x^*$ erreicht wird. Die beiden Nullstellen von $f$ sind $c_M$ und $p_J + tL$, damit liegt der indifferente Kunde bei
$$x^* = (c_M + p_J + tL)/2.$$
Der Preis, den Manuel verlangen sollte um seinen Gewinn zu maximieren ist:
$$p_M = \frac{1}{2}(c_M + p_J + tL)$$
Und auf die gleiche Weise ist der gewinnmaximierende Preis von Joaquim:
$$p_J = \frac{1}{2}(c_J + p_M + tL)$$
Die Preise, die Manuel und Joaquim verlangen sollten, erhalten wir demnach, indem wir das Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten $p_M$ und $p_J$ lösen:
$$
\begin{cases}
p_M=(c_M+p_J+tL)/2 \\
p_J=(c_J+p_M+tL)/2 .
\end{cases}
$$
Mit Umstellen ergeben sich die gewinnmaximierenden Preise der beiden Geschäfte wie folgt: (1)
$$
\begin{cases}
p_M=tL + \frac{2}{3}c_M + \frac{1}{3}c_J \\
p_J=tL + \frac{2}{3}c_J + \frac{1}{3}c_M .
\end{cases}
$$
Man beachte, dass die Geschäfte ihre Produkte zu einem höheren Preis als deren Stückkosten verkaufen müssen, das heißt $p_M > c_M$ und $p_J > c_J$. Für (1) sind diese Bedingungen erfüllt, wenn gilt:
$$| c_M – c_J | < 3tL$$
Demnach ist der Markt wettbewerbsfähig, wenn diese Bedingung erfüllt ist. Dann haben beide Geschäfte Kunden und die Preise von Manuel und Joaquim sind durch (1) gegeben. Dieses Paar von Preisen $(p_M,p_J)$ ist das Nash-Gleichgewicht ([5]) von Manuel und Joaquim, d.h. dies sind die besten Preise, die beide Geschäfte verlangen können, unter Berücksichtigung des Preises des jeweils anderen. Verlangen sie diese Preise, erzielen Manuel und Joaquim den Gewinn:
$$\pi_M = (p_M-c_M) \frac{N}{L} \left(\frac{tL+p_J-p_M}{2t} \right) = \frac{N}{L} \frac{(3tL+c_J-c_M)^2}{18t} $$
$$\pi_J = (p_J-c_J) \frac{N}{L} \left(\frac{tL+p_M-p_J}{2t} \right) = \frac{N}{L} \frac{(3tL+c_M-c_J)^2}{18t}$$
Die Gewinne, sowie die Preise, sind abhängig von den Wegkosten $t$ und den Produktionskosten $c_M$ und $c_J$. Man beachte, dass, (i) wenn $c_M > c_J + 3tL$, so wird Manuel keinen Gewinn erzielen und $d_0=0$ und (ii) wenn $c_J > c_M + 3tL$, dann wird Joaquims Geschäft bankrott gehen und $d_0=L$. In beide Fällen gilt die Preisformel aus (1) nicht, wenn der Markt wettbewerbsfähig ist.
Aufgabe: Betrachten wir ein Dorf mit $N=1000$ Einwohnern und dessen Hauptstrasse einen Kilometer lang ist. Die Stückkosten für den Transport sind $t=1$ (pro Meter).
a) Gegeben, dass mit den Kosten $c_M=2100$ und $c_J=5200$ eines der Geschäfte bankrott geht, welches Geschäft wäre dies?
a) Gegeben, dass die Kosten $c_M=2100$ und $c_J=2700$ den Markt wettbewerbsfähig gestalten. Berechne die Preise und Gewinne der beiden Geschäfte.
3 Einkaufen in der Stadt
Nun nehmen wir an, dass unsere Stadt aus einer Menge von Hauptstraßen besteht, die durch Kanten eines Graphen dargestellt werden. Die Geschäfte befinden sich in den Kreuzungspunkten von $k$ Strecken (mit $k>2$). Die Anzahl von inzidenten Kanten $k$ entspricht dem Grad des Knotens.
Abbildung 2. Hotelling’s City
Die Käufer, der Produkte, die in den Geschäften verkauft werden, sind in der ganzen Stadt verteilt. Jedes Geschäft $F_A$, an einem Knoten vom Grad $k$ gelegen, konkurriert mit $k$ Geschäften, die in den benachbarten Knoten liegen. Siehe das Beispiel in der Abbildung 2, in dem das Geschäft $F_A$ in einem Knoten vom Grad $4$ mit den benachbarten Geschäften $F_B$, $F_C$, $F_D$ und $F_E$ konkurriert.
Das Geschäft $F_A$ hat Stückkosten $c_A$ und den selben Stückpreis $p_A$ für alle Kunden. Käufer aus verschiedenen Orten der selben Straßenkreuzung zahlen den Preis $p_A$ des Geschäfts $F_A$ plus der Transportkosten, die proportional zu der Entfernung sind, die sie auf dem Weg von ihrem Zuhause bis zu dem Geschäft $F_A$ zurücklegen. Nehmen wir an, dass der Weg zwischen je zwei Geschäften $F_A$ und $F_B$ die Länge $L$ besitzt und $N$ Bewohner, um das mathematische Modell zu vereinfachen.
Dann hat der indifferente Käufer einen Abstand von $d_{A,B}$ vom Geschäft $F_A$ und einen Abstand von $L – d_{A,B}$ vom Geschäft $F_B$, der bestimmt wird durch: (2)
$$p_A + td_{A,B} = p_B +t(L – d_{A,B})$$
Lösen wir Gleichung (2), erhalten wir den Standort $d_{A,B}$ des indifferenten Käufers:
$$d_{A,B}=\frac{tL+p_B-p_A}{2t}$$
Der Gewinn des Geschäfts $F_A$ auf diesem Markt ist gegeben durch:
$$\pi_{A,B}=(p_A-c_A) \frac{N}{L} d_{A,B} = \frac{N}{2tL}(p_A-c_A)(tL-p_A)+\frac{N}{2tL}(p_A-c_A)p_B$$
Für jedes Geschäft $F_A$ in dem Knoten vom Grad $k_A$ mit dem Geschäft $F_B \in V_A$ in der Nachbarschaft entspricht die Gewinnfunktion $\pi_A$ der Summe von Gewinnen in jedem Markt in der Nachbarschaft, i.e.,
$$\pi_A(p_A) & = k_A \frac{N}{2tL}(p_A-c_A)(tL-p_A)+\frac{N}{2tL} \sum_{B\in V_A} p_B(p_A-c_A)$$
$$ = \frac{N}{2tL}(p_A-c_A)(k_A tL-k_A p_A + \sum_{B\in V_A} p_B ).$$
Für ein wettbewerbsfähiges Netzwerk mit $M$ Knoten sind die Preise $p_A$, die die Geschäfte $F_A$ im Nash-Gleichgewicht verlangen, die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems von $M$ Gleichungen (3)
$$p_A = \frac{1}{2} \left( c_A + tL + \frac{1}{k_A} \sum_{B\in V_A} p_B \right) $$
für alle $A \in \{1,…,M\}$. Der Beweis dieses Ergebnisses ist eine Erweiterung der Arbeit aus dem vorherigen Abschnitt und kann in [2] und [3] nachgelesen werden. Ist ein bestimmtes Netzwerk von Geschäften gegeben, kann dieses Gleichungssystems mit Hilfe eines Computers gelöst werden.
Aufgaben: Betrachte ein (viereckigen) Stadtteil mit einem Geschäft in jeder Ecke, also $M=4$, wie in der Abbildung 3. Nehme zudem an, dass jede Straße $N=1000$ Bewohner hat, 1 km lang ist und die Wegkosten $t=1$ pro Meter betragen.
a) Seien die Kosten $c_A=c_B=c_C=c_D=2000$ gegeben. Zeige, dass die Wettbewerbspreise $p_A=p_B=p_C=p_D=3000$ betragen und jedes Geschäft einen Gewinn von $1.000.000$ erzielt.
b) Seien die Kosten $c_A=c_C=1800$ und $c_B=c_D=2100$ gegeben. Zeige, dass die Preise der Geschäfte im Wettbewerb $p_A=p_C=2900$ und $p_B=p_D=3000$ betragen und die entsprechenden Gewinne $\pi_A=\pi_C=1.210.000$ und $\pi_B=\pi_D=810.000$ erzielt werden.
Abbildung 3. Der Stadtteil
4 Fazit
Hotellings Modell ist elementar in der Wirtschaftsmathematik und Spieltheorie (siehe auch andere Modelle, z.B. in [3]). Wir haben die optimale Strategie (Preis) für jeden Spieler (Geschäft) gefunden unter Berücksichtigung der Strategien der anderen Spieler und des Nash-Gleichgewichts. Im Besonderen haben wir gesehen, wie eine Kette von konkurrierenden Geschäften, die das selbe Produkt in einer Stadt verkaufen, ihre Preise berechnen und wie Käufer entscheiden, in welchem Geschäft sie zum günstigsten Preis einkaufen.
Das paradigmatische Beispiel der Spieltheorie ist das Gefangenen-Dilemma, welches leicht beschrieben werden kann und wir empfehlen dies, für weitere Untersuchungen. Die Spieltheorie hat eine weite Anwendung, einschließlich des grundlegenden Verständnisses menschlichen Verhaltens.
Referenzen
[1] H. Hotelling. Stability in Competition, The Economic Journal 39 (1929) 41-57.
[2] A. A. Pinto & T. Parreira. A hotelling-type network. Editors: M. Peixoto, A. A. Pinto, and D. Rand. Dynamics, Games and Science I. Springer Proceedings in Mathematics series 1, Chapter 45, (2011) 709-720.
[3] A. A. Pinto. Duopoly Models and Uncertainty. Interdisciplinary Applied Mathematics series. Springer-Verlag (2012).
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Location_model
[5] http://pt.wikipedia.org/wiki/Equilíbrio_de_Nash