លំដាប់ Goodstein

ការសិក្សាពីការវិវត្តន៍នៃបាតុភូតធម្មជាតិ តែងតែនាំយើងឲ្យសិក្សាពីស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត ជាពិសេស លក្ខណៈរបស់ស្វ៊ីត និងភាពរួមរបស់វា។ ស្វ៊ីតនៃពហុធា ស្វ៊ីតនៃអនុគមន៍អ៊ិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ស្វ៊ីតនៃអនុគមន៍លោការីតត្រូវបានគេជួបប្រទះជាញឹកញាប់ នៅមធ្យមសិក្សា។ ប៉ុន្តែមានស្វ៊ីតដទៃទៀតដែលនិយមន័យរបស់វាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែវាបង្កប់នូវលក្ខណៈស្មុគស្មាញជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍ ស្វ៊ីត chaotic ដែលតែងតែកើតមានក្នុងការសិក្សានៃប្រព័ន្ធឌីណាមិច ហើយស្វ៊ីត Syracuse (ឬស្វ៊ីតដែលមានតួទី n គឺ 3n+1) ដែលត្រូវបានណែនាំដោយលោក Luther collatz ក្នុងឆ្នាំ១៩៣៧។ ស្វ៊ីត Syracuse ត្រូវបានធ្វើការពិភាក្សាអស់ជាច្រើនទសវត្សរ៍មកហើយ។ ថ្វីបើ តំលៃធំៗនៃតួរបស់ស្វ៊ីតនេះត្រូវបានគេគណនាក៏ដោយ ក៏វានៅតែគ្មាននរណាដឹងថា តើវាជាស្វ៊ីតមិនកំណត់ ឬស្វ៊ីតកំណត់ ហើយតួរបស់វាតែងតែបញ្ចប់ដោយលេខ1។

ស្វ៊ីតដែលត្រូវបានគេសិក្សាក្នុងអត្ថបទនេះ ត្រូវបានណែនាំដោយលោក British Logician R.L. Goodstein ក្នុងឆ្នាំ ១៩៤៤ ហើយវាបង្ហាញអំពីប្រភេទផ្សេងៗនៃលក្ខណៈមិនធម្មតាជាច្រើន។ តួដំបូងនៃស្វ៊ីតនេះកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងដែលយើងមានជំនឿថាវានឹងខិតទៅរកអនន្ត ផ្ទុយទៅវិញមានការភ្ញាក់ផ្អើលយ៉ាងខ្លាំង ព្រោះថាចុងបញ្ចប់នៃស្វ៊ីតនេះគឺធ្លាក់ចុះ ហើយទីបញ្ចប់វាខិតទៅរកសូន្យទៅវិញ។ ដើម្បីបង្ហាញលទ្ធផលនេះ យើងត្រូវដឹងពីភាពទូទៅ នៃគោលការណ៍ well-ordering សម្រាប់ចំនួនគត់ (Transfinite number)។

ប៉ុន្តែគោលគំនិតដំបូងនៃការសិក្សាស្វ៊ីតនេះវាមិនពិបាកយល់នោះទេ ដូចជាការបង្ហាញរបស់លោក Hudgson ដែលបានពន្យល់ពីស្វ៊ីតមួយ ហើយត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះថាស្វ៊ីត Weak Goodstein ដែលមានលក្ខណៈធម្មតា តែមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងស្វ៊ីត Goodstein។

១. ស្វ៊ីត Weak Goodstein

លោក Hodgson បានពន្យល់ពីនិយមន័យនៃស្វ៊ីត Weak Goodstein ដែលចាប់ផ្តើមដោយយកចំនួន 266 ជាតួដំបូង ដូចជាចំនួនគត់វិជ្ជមានទាំងអស់ វាត្រូវបានបំបែកឲ្យទៅជាផលបូកនៃស្វ័យគុណគោល 2 ដោយដឹងថា 266=2^8+2^3+2^1 ស្វ៊ីត Weak Goodstein ចាប់ផ្ដើមដោយតួដំបូង u_0=266 ត្រូវបានគេកំណត់ដូចតទៅ u_1 បានមកពីការចម្លងគោល 2 ដែលប្រើដើម្បីសរសេរ u_0 ប៉ុន្តែត្រូវប្តូរគោល 2 ទៅជាគោល 3 ហើយដក 1។ យើងសរសេរ ឡើងវិញនូវលទ្ធផលក្នុងគោល 3 ដូចនេះ u_1=3^8+3^3+3^1-1=3^8+3^3+2=6590 ។ យើងបន្តជំនួសតួនៃស្វ៊ីតដោយចំនួនគត់ធម្មជាតិនៃគោលក្នុងតួមុន ដោយចំនួនគត់ធម្មជាតិបន្ទាប់ ហើយដក 1។

គេទទួលបានដូចតទៅ៖

    \[\begin{aligned} u_0 &= 2^8 + 2^3 + 2^1 = 266\\ u_1 &= 3^8 + 3^3 + 3^1 - 1 = 3^8 + 3^3 + 2 = 6{,}590\\ u_2 &= 4^8 + 4^3 + 2 - 1 = 4^8 + 4^3 + 1 = 65{,}601\\ u_3 &= 5^8 + 5^3 + 1 - 1 = 5^8 + 5^3 = 390{,}750\\ u_4 &= 6^8 + 6^3 - 1 = 6^8 + 5\cdot 6^2 + 6^2 - 1 = 6^8 + 5\cdot 6^2 + 5\cdot 6 + 6 - 1\\ &= 6^8 + 5\cdot 6^2 + 5\cdot 6^1 + 5 = 1{,}679{,}831\\ u_5 &= 7^8 + 5\cdot 7^2 + 5\cdot 7^1 + 5 - 1 = 7^8 + 5\cdot 7^2 + 5\cdot 7^1 + 4 = 5{,}765{,}085\\ u_6 &= 8^8 + 5\cdot 8^2 + 5\cdot 8^1 + 4 - 1 = 8^8 + 5\cdot 8^2 + 5\cdot 8^1 + 3 = 16{,}777{,}579\\ u_7 &= 9^8 + 5\cdot 9^2 + 5\cdot 9^1 + 3 - 1 = 9^8 + 5\cdot 9^2 + 5\cdot 9^1 + 2 = 43{,}047{,}173\\ u_8 &= 10^8 + 5\cdot 10^2 + 5\cdot 10^1 + 2 - 1 = 10^8 + 5\cdot 10^2 + 5\cdot 10^1 + 1 = 100{,}000{,}551\\ u_9 &= 11^8 + 5\cdot 11^2 + 5\cdot 11^1 + 1 - 1 = 11^8 + 5\cdot 11^2 + 5\cdot 11^1 = 214{,}359{,}541\\ u_{10} &= 12^8 + 5\cdot 12^2 + 5\cdot 12^1 - 1 = 12^8 + 5\cdot 12^2 + 4\cdot 12^1 + 12 - 1\\ &= 12^8 + 5\cdot 12^2 + 4\cdot 12^1 + 11 = 429{,}982{,}475 \end{aligned}\]

តារាង 1: ធាតុដំបូងនៃស្វ៊ីត Weak Goodstein

ដូចដែលអ្នកបានឃើញនូវតួទាំងឡាយនៃស្វ៊ីត Weak Goodstein វាកើនឡើងយ៉ាងលឿនទៅរកតម្លៃដ៏ធំ ដូច្នេះ ប្រហែលជាអ្នកគិតថាស្វ៊ីតទាំងនេះនៅតែបន្តការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងទៀត។ ប៉ុន្តែវាមិនអញ្ចឹងទេ។ ឧទាហរណ៍៖ ប្រសិនបើយើងជំនួស u_0=1 នោះ u_1=1-1=0 ប្រសិនបើ u_0=2=2^1 នោះ u_1=3^1-1=2, u_2=2-1=1 ហើយ u_3=1-1=0 (ព្រោះគោលនៃ u_2 គឺ 4 ហើយគោលនៃ u_3 គឺ 5)។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលនូវភាពដូចគ្នាផ្សេងទៀតផងដែរ ប្រសិនបើ u_0=3 នោះតួនៃស្វ៊ីតនេះមិនអាចធំជាង 3 បានទេ ហើយវាថែមទាំងខិតទៅរក 0 នៅជំហានទី 5។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលបំបែកតួដំបូងមានស្វ័យគុណនៃ 2 លើសពី 2^1 នោះតួនៃស្វ៊ីតកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស (ដូចបានពន្យល់នូវ u_0=266) ដែលយើងមានជំនឿថាស្វ៊ីតនេះ ខិតទៅរកអនន្ត។ តើការដក 1 នៃគ្រប់ជំហានអាចកាត់បន្ថយយ៉ាងណា ដល់ការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃតួស្វ៊ីត តាមរយៈការបន្ថែមតម្លៃពីគោលមួយទៅគោលមួយទៀត?

ផ្ទុយពីនេះ ចូរពិនិត្យមើលយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ននូវការបង្ហាញតាមតារាង ខាងលើ។ ថ្វីបើតួបន្តបន្ទាប់នៃស្វ៊ីត (ដែលតួទីមួយស្មើ 266) កើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័សក៏ដោយ ក៏ស្វ័យគុណនៃគោលបន្តបន្ទាប់ឈានទៅរកការធ្លាក់ចុះ។ ជាឧទាហរណ៍ ស្វ័យគុណ 1 ក្នុង u_0 វាមិនមានវត្តមានក្នុង u_1 ទេ។ ប្រហាក់ប្រហែលនឹងស្វ័យគុណ 3 នៃ u_3 គឺត្រូវបានជំនួសដោយ 2 ក្នុង u_4។ នៅទីបញ្ចប់ស្វ័យគុណ 8 ក្នុង u_{10} បានរួមទៅរក 7 ហើយ 7 បន្តធ្លាក់ចុះបន្ថែមទៀត។ នេះជាលក្ខណៈរួមនៃស្វ៊ីត Goodstein។ ទាំងអស់នេះដែលនឹងអនុញ្ញាតឲ្យយើងបង្ហាញថាស្វ៊ីតនេះរួមទៅរកសូន្យ។ ដើម្បីឲ្យកាន់តែច្បាស់ យើងត្រូវសិក្សាពីស្វ៊ីតដែលមានតួជា transfinite ordinal number។

២. Transfinite ordinal number និង well ordering

Ordinal:

នៅក្នុងន័យសាមញ្ញ ចំនួន ordinal ត្រូវបានគេប្រើដើម្បីបង្ហាញលំដាប់ (ទីតាំង)៖ ទី១ ទី២ ទី៣…… ។ល។ តាមពិតចំនួនគត់ធម្មជាតិវិជ្ជមានត្រូវបានគេប្រើដើម្បីរៀបចំធាតុនៃសំណុំកំណត់ណាមួយនៅក្នុងមធ្យោបាយនេះ។ ការសិក្សា transfinite ordinal number ជាវិបាកដែលបានមកពីការសិក្សា ordinal number។ Georg Cunter ជាអ្នកដែលបានចងក្រងអត្ថបទស្តីពី Transfinite ordinal cunter នៅចុងសតវត្សទី ១៩។ ដោយហេតុថាសំណុំនៃចំនួនគត់គឺជា សំណុំកំណត់។ ឧបមាថាមានចំនួន \omega ដែលធំជាងគេបង្អស់នៃគ្រប់ចំនួនគត់។ ព្រោះចំនួនគត់ជាច្រើនដែលមិនអាចកំណត់បាន គឺតូចជាងចំនួន \omega។ យើងហៅថា transfinite ordinal number វាមានចំនួនបន្តបន្ទាប់គឺ \omega+1, \omega+2, \omega+3, \ldots ហើយមានច្រើនបន្តទៀត។ ចំនួនលំដាប់ដែលតូចជាងគេ ប៉ុន្តែវាធំជាងចំនួនលំដាប់ \omega+n គឺ \omega+\omega ឬ \omega\cdot 2 ហើយចំនួនលំដាប់ដែលតូចជាងគេ ប៉ុន្តែវាធំជាងចំនួនលំដាប់ \omega\cdot n+m (ដែល m គឺជាចំនួនលំដាប់ដែលតូចជាង \omega\cdot n) គឺ \omega^2។ ចំនួនលំដាប់ដែលតូចជាងគេ ប៉ុន្តែវាធំជាងចំនួនលំដាប់ \omega^n+m (ដែល m គឺជាចំនួនលំដាប់ដែលតូចជាង \omega^n) គឺ \omega^{\omega}

    \[\begin{array}{cc} 0, 1, 2, \ldots, n\ldots & \omega\\ \omega+1, \omega+2, \ldots, \omega+n\ldots & \omega\cdot 2\\ \omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \ldots, \omega\cdot 2+n\ldots & \omega\cdot 3\\ \omega\cdot 3+1, \omega\cdot 4, \ldots, \omega\cdot n\ldots & \omega^2\\ \omega^2+1, \ldots, \omega^3, \ldots, \omega^n\ldots & \omega^{\omega} \end{array}\]

ដែល \omega^{\omega} គឺត្រូវបានសរសេរដោយយ \omega^{\omega}+1, \omega^{\omega}+2, \ldots, \omega^{2\omega}, \omega^{2\omega}+1, \ldots, \omega^{2\omega}+\omega, \ldots, \omega^{3\omega}, \ldots, \omega^{\omega^{\omega}} ហើយគេអាចកំណត់បាន \varepsilon_0 ដែលចំនួនលំដាប់តូចជាងគេបំផុត ឲ្យធំជាងគេផលបូកទាំងអស់ដែលមានទំនាក់ទំនងនៃស្វ័យគុណ \omega ហើយអាចបន្តដំណើរការគ្មានដែនកំណត់។ តាមពិតទៅ ចាប់ផ្ដើមពីចំនួនលំដាប់បណ្ដាក់ ព្រោះវាជាសំណុំរាប់បាន។ នោះគឺចំនួនលំដាប់អាចផ្គូរផ្គងពីមួយទៅមួយ ជាមួយនឹងចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

Ordinal and well ordering:

ភាពសំខាន់ខុសគ្នារវាងចំនួនលំដាប់ និងចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺត្រង់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ 0 ហើយភ្លាមនោះមានចំនួនដែលគេឲ្យមុន ដែលជាហេតុមានចំនួនលំដាប់ដូចតទៅ \omega, \omega\cdot 2 រហូតដល់ \omega^{\omega} ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏សំណុំចំនួនគត់ សំណុំពង្រីកនៃចំនួនលំដាប់គឺ “wellordered” នៅក្នុងការគិតដែលគ្រប់សំណុំមិនទទេនៃចំនួនលំដាប់មានធាតុមួយយ៉ាងតិច។ នេះជាកម្មសិទ្ធនៃលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវនូវរឿងពិតដែលមិនអាចកំណត់បាននូវភាពថយចុះយ៉ាងដាច់ខាតនៃស្វ៊ីត។ ឧបមាថា៖ មានស្វ៊ីតមិនកំណត់មួយនោះគេបាន u_0, u_1, u_2, \ldots ហើយ S ជាសំណុំនៃគ្រប់តួ។ គេឲ្យ S ជាសំណុំមិនទទេ វាមានធាតុមួយយ៉ាងតិចគឺ \alpha ហើយ \alpha=u_k ដែល k ជាចំនួនគត់។ តែស្វ៊ីតនេះជាស្វ៊ីតចុះដាច់ខាត នោះ u_{k+1}< u_k=\alpha ហើយ \alpha គឺជាធាតុមួយយ៉ាងតិចរបស់ S ដែលគ្រាន់តែជាការសន្មត់បង្រួមប៉ុណ្ណោះ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបង្ហាញពីរបៀបប្រើចំនួនលំដាប់ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់ពីស្វ៊ីត Weak Goodstein។

២. យើងនឹងបង្ហាញថាស្វ៊ីត weak Goodstein រួមទៅរក 0

ដោយ u_n ជាស្វ៊ីត Weak Goodstein។ ដោយប្រើ u_n យើងនឹងបង្កើតស្វ៊ីតចុះ \alpha_n នៃ ordinal numbers ថ្មីមួយ ដោយជំនួសគោលក្នុង u_n ដោយ \omega។ ដោយគោលរបស់ u_0 គឺ 2 ហើយដោយគោលរបស់ u_n កើនពីតួមួយទៅតួមួយ នោះយើងត្រូវប្រើ (n+2) ជាគោល ដើម្បីសរសេរ u_n ជាលក្ខណៈបំបែក។

ចូរមើលតារាង 2 ដែលនិយាយពីការបង្កើតស្វ៊ីត \alpha_n ដែលមាន u_0=266

n u_n \alpha_n
0 2^8+2^3+2^1 \omega^8+\omega^3+\omega^1
1 3^8+3^3+3-1=3^8+3^3+2 \omega^8+\omega^3+2
2 4^8+4^3+1 \omega^8+\omega^3+1
3 5^8+5^3 \omega^8+\omega^3
4 6^8+6^3-1=6^8+5\cdot 6^2+5\cdot 6^1+5 \omega^8+\omega^2\cdot 5+\omega^1\cdot 5+5
5 7^8+5\cdot 7^2+5\cdot 7^1+4 \omega^8+\omega^2\cdot 5+\omega^1\cdot 5+4
6 8^8+5\cdot 8^2+5\cdot 8^1+3 \omega^8+\omega^2\cdot 5+\omega^1\cdot 5+3
… … …
9 11^8+5\cdot 11^2+5\cdot 11^1 \omega^8+\omega^2\cdot 5+\omega^1\cdot 5
10 12^8+5\cdot 12^2+4\cdot 12^1+11 \omega^8+\omega^2\cdot 5+\omega^1\cdot 4+11
… … …

តារាង 2: ស្វ៊ីតនៃចំនួនលំដាប់ដែលត្រូវគ្នានឹងស្វ៊ីត weak Goodstein

តាមតារាងបង្ហាញថា គ្រប់តួនៃស្វ៊ីត \alpha_n ធំជាង ដែលត្រូវគ្នានៃស្វ៊ីត u_n តែ u_n ជាស្វ៊ីតកើន ហើយ \alpha_n ជាស្វ៊ីតចុះ។ តួរបស់ \alpha_n ធំជាងតួរបស់ u_n ព្រោះនៅក្នុងការសរសេរជាលក្ខណៈបំបែកនៃ u_n ដោយប្រើគោល (n+2) យើងមានតួឯកតា (unit term) នៅក្នុង u_n ស្មើ 0 ឬមិនស្មើ 0។ ដូចនេះដើម្បីសរសេរពី u_n ទៅ u_{n+1} យើងមានពីររបៀប៖

  • តួឯកតារបស់ u_n មិនស្មើ 0 ដើម្បីសរសេរ u_{n+1} ដោយប្រើ u_n យើងត្រូវប្រើ “1” នោះតួឯកតារបស់ u_{n+1} តូចជាងតួឯកតារបស់ u_n មួយឯកតា (ក្នុងតារាង2 ករណីនេះកើនឡើងពី u_1\to u_2, u_2\to u_3, u_4\to u_5, u_5\to u_6)។
  • តួឯកតាស្មើ 0 ក្នុងករណីនេះយើងអាចសរសេរការបំបែករបស់ u_n ដោយប្រើគោលថ្មីដោយធ្វើតាមពន្លាតដែលធ្វើឲ្យស្វ័យគុណធ្លាក់ចុះ។ (ក្នុងតារាង2 ករណីនេះកើនឡើងពី u_0\to u_1, u_3\to u_4, u_9\to u_{10})។

ទាំងពីរករណី យើងឃើញថា \alpha_{n+1} តូចជាង \alpha_n គ្រប់តម្លៃ n។ ដោយ ordinal number ជាចំនួនដែលមានលំដាប់ នោះយើងមិនអាចមានស្វ៊ីតនៃ ordinal number ដែលចុះដាច់ខាតមិនកំណត់ទេ។ ដូចនេះយើងមាន m\in z^* ដែល \alpha_m=0។ បន្ថែមលើសពីនេះទៀតដោយ u_n\leqslant\alpha_n គ្រប់ n នោះ u_m ត្រូវតែស្មើ 0។ ម្យ៉ាងទៀតតួរបស់ u_n ខិតទៅរក 0 ត្រឹមតែក្នុងករណី \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots, n\} ជាសំណុំកំណត់ (finite set)។

សំណួរ: យើងចាប់អារម្មណ៍ u_n< \alpha_n ដែលមាន u_0=5។ តើ n=0? និង u_n=0? ដើម្បីឲ្យ \alpha_n=\omega។ ចូរសរសេរតួនីមួយៗរបស់ u_n និង \alpha_n រហូតដល់ n ដែល \alpha_n=\omega។

ជំហានបន្ទាប់យើងនឹងសិក្សាពីស្វ៊ីត Goodstein។ និយមន័មរបស់ស្វ៊ីតនេះ មានលក្ខណៈខុសបន្តិចពីស្វ៊ីត Weak Goodstein តែការបង្ហាញភាពរួមមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា។

៤. ស្វ៊ីត Goodstein

ការពិចារណាម្តងទៀតនូវការជំនួសគោល 2 ដោយ 266: 2^8+2^3+2^1។ ឥឡូវសរសេរស្វ័យគុណដោយប្រើតែគោល 2,\ 3=2^1+1,\ 8=2^3=2^{2+1}។ ជាលទ្ធផល កន្សោមធាតុនៃចំនួន 266 គឺអាចសរសេរដោយគ្មានធាតុណាធំជាងគោល 2 ឡើយ។ តាង m_n ជាស្វ៊ីត Goodstein ដែលចាប់ផ្តើមជាមួយលេខ m_0=266។ ផ្តើមពី m_1 ដោយប្តូរពីការជួសគោល 2 ទៅគោល 3 ហើយដក 1 និងសរសេរឡើងវិញនូវលទ្ធផលដែលគ្មានចំនួនណាធំជាងគោល 3 ឡើយ។ បន្តនូវដំណើរការច្រំដែលដើម្បីបាននូវតួបន្តបន្ទាប់នៃ m_n ដូចជាការបង្ហាញនូវក្នុងតារាង3:

    \[\begin{aligned} m_0 &= 2^{2^{2+1}} + 2^{2+1} + 2^1\\ m_1 &= 3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 3^1 - 1 = 3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 2\\ &= 443426488243037769948249630619149892886 \approx 10^{38}\\ m_2 &= 4^{4^{4+1}} + 4^{4+1} + 1 \approx 10^{616}\\ m_3 &= 5^{5^{5+1}} + 5^{5+1} \approx 10^{10921}\\ m_4 &= 6^{6^{6+1}} + 6^{6+1} - 1 = 6^{6^{6+1}} + 5\cdot 6^6 + 5\cdot 6^5 + 5\cdot 6^4 + 5\cdot 6^3 + 5\cdot 6^2 + 5\cdot 6^1 + 5\\ &\approx 10^{217832}\\ m_5 &= 7^{7^{7+1}} + 5\cdot 7^7 + 5\cdot 7^5 + 5\cdot 7^4 + 5\cdot 7^3 + 5\cdot 7^2 + 5\cdot 7^1 + 4\\ &\approx 10^{4871822} \end{aligned}\]

តារាង 3

ដូចដែលអ្នកបានឃើញ ទំហំនៃការកើនឡើងនៃតួគឺយ៉ាងធំសម្បើម ហើយស្វ៊ីតនេះមិនទាន់បញ្ចប់ទេដូចជាស្វ៊ីត Goodstein ទាំងអស់ ជាយថាហេតុវាចាប់ផ្តើមថយចុះហើយចុងបញ្ចប់គឺរួមទៅរក 0។ ការស្រាយបញ្ជាក់នេះ វាប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងការស្រាយបញ្ជាក់នៃស្វ៊ីត Weak Goodstein។ ដូចជាក្នុងករណីនេះស្វ៊ីត \beta_n គឺភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងទៅនឹងស្វ៊ីត m_n ដោយការប្តូរគោលដែលយើងជួបប្រទះទៅ \omega។ ពីរ ឬបីធាតុដំបូងនៃ \beta_n គឺមានទម្រង់ដូចតទៅ:

    \[\begin{aligned} \beta_0 &= \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} + \omega^1\\ \beta_1 &= \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} + 2\\ \beta_2 &= \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} + 1\\ \beta_3 &= \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1}\\ \beta_4 &= \omega^{\omega^{\omega+1}} + 5\cdot\omega^{\omega} + 5\cdot\omega^{5} + 5\cdot\omega^{4} + 5\cdot\omega^{3} + 5\cdot\omega^{2} + 5\cdot\omega^{1} + 5\\ \beta_5 &= \omega^{\omega^{\omega+1}} + 5\cdot\omega^{\omega} + 5\cdot\omega^{5} + 5\cdot\omega^{4} + 5\cdot\omega^{3} + 5\cdot\omega^{2} + 5\cdot\omega^{1} + 4 \end{aligned}\]

ស្វ៊ីត \beta_n គឺជាចំនួនលំដាប់មានការចុះយ៉ាងដាច់ខាត ដែលការកំណត់នេះគឺមានធាតុតិចតួចណាស់ ហើយតួបន្តត្រូវបានគណនាយ៉ាងវែង ដោយគ្មានតួណាស្មើ 0 ទេ តែធាតុនៃស្វ៊ីតនេះគឺ 0។ ប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងការពិចារណានេះអាចប្រើសម្រាប់ស្វ៊ីត Goodstein ទាំងអស់។

តម្លៃលេខគណិតនៃចំនួនគត់លំដាប់ គឺត្រូវបានគេហៅថា Peano arithmetic ព្រោះក្នុងសតវត្សទី១៩ គណិតវិទ្យាជនជាតិអ៊ីតាលីឈ្មោះ Giuseppe Peano បង្កើតនូវរូបមន្តនៃស្វ័យសត្យដំបូងបង្អស់។ នេះជាអ្វីដែលយើងគួរកត់សម្គាល់អំពីការស្រាយបញ្ជាក់ដ៏ល្អប្រណិត ហើយផ្តល់អោយយើងនូវលទ្ធផលដោយ Peano arithmetic ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់នូវទ្រឹស្តីបទដែលអាចអោយបាននូវកន្សោមធាតុផ្នែកខាងក្រៅនៃ Peano arithmetic។ ម្យ៉ាងទៀតវាប្រើទ្រឹស្តីទូទៅនៃសំណុំដែលរួមមានចំនួនលំដាប់ដើម្បីស្រាយនូវទ្រឹស្តីបទពីចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ មានន័យថាស្វ៊ីត Goodstein រួមទៅរក 0។ នេះជាធម្មជាតិ សំណួរសួរថា តើការរួមនៃស្វ៊ីត Goodstein អាចស្រាយដោយប្រើចំនួនលំដាប់ទេ។ ចម្លើយនេះគឺទេ។ សម្រាយបញ្ជាក់នៅឆ្នាំ១៩៨២ ប្រហែលជា ៤០ឆ្នាំកន្លងទៅ ស្វ៊ីតនេះត្រូវបានគេរកឃើញដោយលោក Laurie Kirby និងលោក Jeff Paris។ ស្វ៊ីតនេះត្រូវបានបង្ហាញថា ប្រសិនបើវារួមអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើគោលការណ៍ well-ordering សំរាប់ចំនួនគត់ (មានបញ្ជាក់ដោយ Peano arithmetic)។ នោះទ្រឹស្តីបទអំពីស្វ៊ីត Goodstein អាចកែតម្រូវដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Gentzen ក្នុងឆ្នាំ១៩៣៦ ដែល Peano arithmetic ជាក់ប្រាកដក៏ត្រូវតែកែតម្រូវ។ ប៉ុន្តែយើងដឹងហើយថា ទ្រឹស្តីបទ Gödel incompleteness (១៩៣១) ដែលធ្វើអោយ Peano arithmetic មានភាពប្រាកដនិយម ដែលមិនអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយខ្វះ Peano arithmetic ទេ។ វាគឺជាអ្វីតិចតួចសម្រាប់អ្នកគណិតវិទ្យាមួយចំនួនដែលចំណាយថាមពលខ្ជះខ្ជាយ ដើម្បីព្យាយាមស្វែងរកសម្រាយបញ្ជាក់ថ្មី។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដែលមានការភ្ញាក់ផ្អើលខ្លាំងនោះ តាមពិតទៅស្វ៊ីត Goodstein គឺខិតទៅរក 0 ដែលអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយ Peano arithmetic។ ការពិចារណានេះ គឺមានសារៈសំខាន់ ដែលតួនៃស្វ៊ីតមានទំនាក់ទំនងនៃចំនួនលំដាប់ គឺវាតិចតួចជាង \omega^{\omega}។ ការស្រាយបញ្ជាក់មួយ ដោយលោក E.A Cichon ដែលបានណែនាំពីស្វ៊ីត weak Goodstein ក្នុងឆ្នាំ១៩៨៣។ ដែលតួនីមួយៗនៃស្វ៊ីត Goodstein មួយអាចមានទំនាក់ទំនងទៅនឹងសំណុំលំដាប់មាន m ធាតុនៃមេគុណនៃបំណែងចែកក្នុងគោល n+2 ដែលបានបង្ហាញថាសំណុំលំដាប់មាន m ធាតុ ដែលមានការចុះយ៉ាងដាច់ខាត ដែលធ្វើអោយអ្នករៀបចំសម្រាយបញ្ជាក់មានភាពស្ងប់ចិត្តបានល្អ។

៥. ស្វ៊ីត Goodstein និងល្បែង Hydra

នៅក្នុងអត្ថបទ Kirby និង Paris បានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ពីដំណើរការនៃល្បែង Hydra ជាមួយនឹងភាពប្រហាក់ប្រហែលនៃស្វ៊ីត Goodstein។ ល្បែងនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះពីការពណ៌នាពីរឿងទេវកថារបស់ក្រិចដែលបានរៀបរាប់ពីការប្រយុទ្ធតស៊ូរវាង Hercules និងសត្វដែលមានក្បាលច្រើនមានឈ្មោះថា Learnaean Hydra ដែលក្បាល Hydra ត្រូវបានកាត់នោះមានក្បាលពីរដុះចេញពីកន្លែងកាត់។ នៅក្នុងល្បែងនោះ Hydra គឺចេញដំណើរពីក្នុងព្រៃ ហើយក្បាលនៃ Hydra មានទំនាក់ទំនងទៅនឹងការបញ្ឈរចុងបញ្ចប់នៃស្លឹកឈើ ឬក៏ដើមឈើ។ ប្រសិនបើ Hercules កាត់ក្បាលមិនផ្ទាល់ ដែលភ្ជាប់ទៅនឹងមែកនៃដើមឈើ។ នៅពេលក្បាលត្រូវកាត់ផ្តាច់ នោះ Hydra បានដុះក្បាលពីរចេញពីកន្លែងដែលកាត់ផ្តាច់នោះ។ នេះត្រូវបានធ្វើអោយសម្រេចដោយមធ្យោបាយផ្សេងគ្នា ជំនួសដោយការពន្យល់នេះ។ សូមលើកឧទាហរណ៍ដោយ Kirby និង Paris ហើយប្រើប្រាស់ម្តងទៀតដោយលើកទ្រឹស្ដី Hodgson។ ប្រសិនបើក្បាលត្រូវកាត់ផ្តាច់នៅជំហានទី n នៃល្បែង នោះ Hydra ត្រូវមានក្បាល n ដែលចេញពីផ្នែកនៃចុងខាងលើនៃក្បាលត្រូវកាត់ផ្តាច់។ ក្នុងដ្យាក្រាមខាងក្រោមជាផ្នែកមួយនៃការកាត់ផ្តាច់ គឺបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចុចដែលជាផ្នែកមួយនៃទំនាក់ទំនងជាថ្មី ដូចការបង្ហាញខាងក្រោម៖

Hydra

វាគឺមានលទ្ធភាពក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់នូវអ្វីដែលតួនៃរូបសណ្ឋាននៃក្បាល Hydra និងអ្វីជាយុទ្ធសាស្ត្ររបស់ Hercules ដែលបានប្រើ។ Hercules និងតែងតែជោគជ័យក្នុងការកាត់ផ្តាច់ក្បាល ទោះបីជាមានក្បាលថ្មីកើតឡើងដែលធ្វើអោយមានរយៈពេលយូរក្នុងការបញ្ចប់។ ដូចនេះភាពរួមរបស់ស្វ៊ីត Goodstein ដូចជាសម្រាយនៃគោលទៅលើទំនាក់ទំនងរវាងតួបន្តបន្ទាប់នៃមែកឈើ និងភាពចុះដាច់ខាតនៃស្វ៊ីតក្នុងចំនួនលំដាប់។ ដូចជាអ្នកបានទស្សន៍ទាយពីដ្យាក្រាមដែលបានបង្ហាញខាងលើ មែកឈើចេះតែដុះថ្មីជាបន្តបន្ទាប់ ប៉ុន្តែវាត្រូវកាត់ផ្តាច់ (ថយចុះ) បន្តបន្ទាប់ដែរ។ ចុងបញ្ចប់Hercules គឺនៅតែមានលទ្ធភាពកាត់ផ្តាច់ក្បាលដែលមានជីវិតនេះម្តងមួយៗ ដូចមែកឈើខាងលើនិងចំណុចនោះ (ដូចជាការពន្យល់ក្នុងជំហានទី3) គាត់នៅតែអាចកាត់ផ្តាច់ក្បាលម្តងមួយៗ រហូតដល់គ្មានក្បាលណាកើតឡើងជាថ្មីឡើយ។

៦. មេរៀនដែលចេញពីឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ក្នុងអត្ថបទខ្លីនេះ គឺជាការចាប់អារម្មណ៍ពីការពិចារណាទូទៅ។ ដំបូងយើងបង្ហាញនូវគណិតតក្កវិទ្យាគឺមានទំនាក់ទំនងទៅនឹងទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាខ្លាំង។ ទ្រឹស្តីបទជាច្រើនដូចជា ទ្រឹស្តីបទ Gödel’s incompleteness និងគោលបំណងដូចចំនួនលំដាប់ គឺត្រូវការសិក្សាអំពីកម្មវត្ថុនៃចំនួនលំដាប់នៃគណិតវិទ្យា ដូចជាស្វ៊ីតនៃចំនួនគត់ និងមែកធាងនៃគណិតវិទ្យាតាមការបង្ហាញពីលក្ខណៈនៃចំនួនគត់អាចឲ្យយើងស្រាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីទូទៅ តែមិនមែនសម្រាយបញ្ជាក់របស់ Peano arithmetic ទេ។ ឧទាហរណ៍៖ ដែលគូសបញ្ជាក់ពីសេចក្តីតាំងចិត្តខាងផ្នែកទ្រឹស្តីនិងភាសាវិទ្យាគម្រោងផ្នែកខាងក្នុង ដែលតែងជួបប្រទះនឹងការស្រាយបញ្ជាក់។ នៅក្នុងករណីនេះយើងសូមបង្ហាញនូវ Peano arithmetic គឺមានភាពទន់ខ្សោយជាងទ្រឹស្តីទូទៅនៃសំណុំ។

មេរៀនដទៃទៀតដែលបានមកពីឧទាហរណ៍នេះ គឺជាតម្លៃដែលខិតជិតទៅនឹងបញ្ហាផ្សេងគ្នាជាច្រើន (ភាពរួមនៃស្វ៊ីត Goodstein ទូទៅ) ដោយបញ្ជាក់ន័យវាទៅក្នុងការខិតទៅជិតមួយ (ភាពរួមនៃស្វ៊ីត weak Goodstein)។ នៅក្នុងសេចក្តីបន្ថែមឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញពីរបៀបនៃប្រភេទឧទាហរណ៍។ ស្វ៊ីតមួយដែលតួវាមានតម្លៃស្មើ 266 អាចពន្យល់ពីលក្ខណៈសំខាន់ទាំងអស់នៃប្រភេទករណីផ្សេងគ្នា។ ឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាត់បង្ហាញពួកយើងអោយយល់ពីគំនិតអព្ភន្តរញ្ញាណមានដែនកំណត់។ ស្វ៊ីតដែលខិតជិតអនន្តតាមពិតទៅ វាមិនដូចនេះទេ ជាយថាហេតុពួកវាចុះ និងរួមទៅរកសូន្យនៅចំនួនកំណត់មួយនៃជំហាន។ ចុងបញ្ចប់ឧទារហណ៍ដែលអាចធ្វើអោយយើងបានឃើញទាំងស្វ័យគុណនិងបច្ចេកវិទ្យានៃដែនកំណត់ ព្រោះបច្ចេកវិទ្យាផ្តល់អោយយើងនូវការគិតយ៉ាងច្បាស់លាស់សម្រាប់ការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃតួនៃស្វ៊ីត។ ប៉ុន្តែវាមានដែនកំណត់ ជួនការជួបប្រទះចំនួនលេខក្នុងប្រភេទនៃនិយមន័យរបស់ស្វ៊ីត៕

ឯកសារយោង

[11] The terms of {mn} shown in Table 3 were computed using http://www.wolframalpha.com.

[12] Kirby, L. and Paris, J. (1982). Accessible Independence Results for Peano Arithmetic, Bulletin of the London Mathematical Society, 14, 285-293.

[13] Cichon, E. A. (1983). A Short Proof of Two Recently Discovered Independence Results Using Recursion Theoretic Methods, Proc. Amer. Math. Soc., 87, 704-706.

[14] Bauer, A. Java applet for the Hydra Game. (If the applet fails to work in one browser, try it in another.) Dehornoy, P. (2001) L’infini est-il nécessaire? Pour la Science, Dossier, and Dehornoy, P. (2009) Cantor et les infinis.

លំដាប់ Goodstein (PDF)

Leave a Reply

អាសយដ្ឋាន​អ៊ីមែល​របស់​អ្នក​នឹង​មិន​ត្រូវ​ផ្សាយ​ទេ។ វាល​ដែល​ត្រូវ​ការ​ត្រូវ​បាន​គូស *