វិមាត្រខ្ពស់

រូបភាពទី1: ការពណ៌នានៃ *Calabi – Yau* ច្រើនដង
(សារៈសំខាន់សំរាប់ការពណ៌នានៃគម្រូលំហវិមាត្រខ្ពស់ក្នុងទ្រឹស្តី *Superstring*)

១. ការរងចាំមើលនូវវិមាត្របន្ទាប់

តើពិភពលោកយើងពិតជាមានវិមាត្រច្រើនជាងវិមាត្របីមែនឬទេ? បើដូច្នោះមែន តើមានប្រធានបទអ្វីដែលមាននៅក្នុងលំហវិមាត្រខ្ពស់ ហើយមានទំនាក់ទំនងជាមួយពិភពលោករបស់យើងបែបណាទៅ? តើវាអាចទៅរួចទេ ដើម្បីធ្វើការងារអ្វីមួយឲ្យយល់ដោយប្រើវិញ្ញាណនោះ? ឬមួយក៏ពួកគេដកស្រង់ចេញពីការបង្ហាញផ្សេងៗតាមទ្រឹស្តីទំនាក់ទំនងដោយប្រើវិមាត្របួន ដើម្បីពន្យល់ពីគន្លឹះនៃលំហពេល (Space-time) ហើយវិមាត្រប្រាំមួយគឺចាំបាច់ ដើម្បីពន្យល់ពីការបត់បែននៃលំហពេល (Space-time) និងការខុសគ្នានៃទ្រឹស្តីចំណង (String theories) ដែលវាសំខាន់ប្រើសំរាប់ការបង្ហាញចំពោះលំហវិមាត្រ 26 (e.g.L. Botelho, 1999)។ ដែនកំនត់ថ្មីៗផ្សេងទៀតនៃប្រមាណវិធីសំរាប់លំហវិមាត្រខ្ពស់ និងការបង្ហាញវិមាត្របី គឺជាការសិក្សារចនាសម្ព័ន្ធនៃការមិនកំណត់ពេលវេលសំរាប់គម្រូផលិកសាស្ត្រ (Crystallography)។ សំណុំចំនុចលំហវិមាត្រខ្ពស់ដែលវត្ថុគិតឃើញខាងក្នុង(ដូចជាចំនួនលេខគត់ក្នុងវិមាត្រ5) ចំពោះវិមាត្របីក្នុងលំហត្រូវបានគេគាំទ្រចំពោះរចនាសម្ព័ន្ធនៃផលិក។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ បង្ហាញពីលក្ខណៈនៃការគិតបែបគណិតវិទ្យាមួយក្នុងចំណោមទាំងនោះដែរដូចជា៖ បើសិនវាងាយស្រួល ឬមានប្រយោជន៍ពីវត្ថុដ៏អស្ចារ្យក្នុងលំហវិមាត្រខ្ពស់ ដូចជាវិមាត្រវិសេស គឺវិមាត្របីក្នុងលំហ អាចត្រូវបានគេពង្រីកឡើង។ បញ្ហានេះ គេពន្យល់យ៉ាងងាយទៅតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះ សមីការបន្ទាត់ដែលមានអថេរបី ត្រូវបានគេបកស្រាយជាប្លង់ក្នុងលំហ។ សមីការបន្ទាត់ដែលមានអថេរបួនគេបកស្រាយតាមរយៈមាឌ hyperplane ក្នុងលំហវិមាត្របួន។ ដូចគ្នាដែរ ចំពោះសមីការបន្ទាត់ដែលមាន $n$ អថេរ គេបកស្រាយក្នុងវិមាត្រ $(n-1)$ ក្នុងលំហមានវិមាត្រ $n$ ។ គេប្រើអថេរច្រើនជាងបី វាមានប្រយោជន៍ដល់ការពង្រីកគុណប្រយោជន៍ច្រើន ពីទំនាក់ទំនងគណិតវិទ្យាពណ៌នា។ វាមិនចាំបាច់គណនាតាមរូបមន្តពិជគណិត និងកំរិតនៃចំនួនដើម្បីឲ្យមានការពណ៌នាតាមវិញ្ញាណនៅក្នុងលំហវិមាត្រខ្ពស់ទេ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការពិសោធន៍ដឹកនាំការពន្យល់លទ្ធផល គ្រាន់តែជាការនិយាយដល់ពិភពលោកពិតៗប៉ុណ្ណោះ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មានការពិពណ៌នាពីគោលបំណងជាមូលដ្ឋាន នៃលំហវិមាត្រខ្ពស់មានវិមាត្របួនក្នុងលំហ។ ទោះជាយ៉ាងក៍ដោយ ការដោះស្រាយខាងក្រោមជាការទាក់ទងទៅនឹងគំនិតវិវត្តនៃប្រធានបទលំហវិមាត្រខ្ពស់ នឹងត្រូវបានគេពិភាក្សាតាមរយៈគំរូដោយចាត់ទុកថាប្រធានបទ គូបមានវិមាត្របួន វានឹងមានការលំបាកចំពោះគូបដែលមានក្នុងលំហវិមាត្រខ្ពស់។ ការប្រៀបធៀបមានការទូលំទូលាយតាមរយៈ សម្មតិកម្មជាមូលដ្ឋានចំពោះការយល់ដឹងអំពីលំហវិមាត្រខ្ពស់។ ខាងក្រោមនេះមានរបៀបបីផ្សេងគ្នា នឹងត្រូវបានគេបង្ហាញនិងវិភាគដូចតទៅ៖

ការបញ្ចាំងរូបភាពនៃវត្ថុក្នុងលំហវិមាត្រខ្ពស់ទៅលើប្លង់វិមាត្រ២។
ការប្រសព្វរវាងគូបប៉ោងនិងប្លង់ប៉ោង។
ការលាតនៃប្រព័ន្ធវត្ថុដែលតាំងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត។

២. ការបញ្ចាំងរូបភាព (Projection):

នៅក្នុងផ្នែកនេះ គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការពិពណ៌នាគោលបំណងនៃលំហវិមាត្រខ្ពស់ដោយបញ្ចាំងរូបភាពតិចតួច ត្រូវបានគេនិយាយជាទូទៅក្នុងមេរៀនលំហវិមាត្រខ្ពស់។ ជាពិសេសមេរៀន Projection ដែលមានអង្កត់ទ្រូង $n$ និងវិមាត្រកែងគ្នាក្នុងលំហវិមាត្រ $(n-1)$ ក្នុងលំហអាចជាការនិយាយជាទូទៅ ។

ឧទាហរណ៍ 1: ការបញ្ចាំងរូបភាពនៃការេ និងគូប

ចំពោះ $1\leq i\leq 4$ តាង $A_i$ ជាការេបញ្ឈរ។ ការបញ្ចាំងរូបភាពនៃរូបភាពទី2.1 ជាការេតាងឲ្យបន្ទាត់កាត់គ្នា។ $g_i : \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A_i} + k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ , $(1\leq i\leq 4)$ ដែលមានបន្ទាត់ $h: x_1 + x_2 = 0$ ។ នេះជាការបញ្ចាំងរូបភាពដូចគ្នា ការបញ្ចាំងរូបភាពនៃ $n$ វិមាត្រ គឺជាការពិពណ៌នាដោយពេញលេញតាមរយៈ ការបញ្ចាំងរូបភាពកូអរដោនេនៃបន្ទាត់បញ្ឈរ។ យើងពិនិត្យឃើញចំនុចជាច្រើនដែលកាត់តាមបន្ទាត់ត្រង់។ $g_i : \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A_i} + k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right)$ , $(1\leq i\leq 2^n)$ និងមាន $(n-1)$ ប្លង់ $R: x_1 + \dots + x_n = 0$ វ៉ិចទ័រ $(1,1,\dots,1)$ កែងទៅនឹងប្លង់ $R$ បន្ទាត់ $g_i$ ជាបន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ $R$ តាមរយៈបន្ទាត់បញ្ឈរ $A_i$ ។ បន្ទាត់ពីរដូចគ្នា រូបភាពបញ្ចាំងខាងលើមានរូបភាពដូចគ្នា ដែលនៅខាងក្រោមមានរូបភាពពិសេសដែលយើងទទួលបានពីរូបភាពទី 3.2 តំណាងឲ្យរូបភាពកែងគ្នានៃគូបមានវិមាត្របួននៅក្នុងលំហវិមាត្របី។

រូបភាពទី 3.1 និង 3.2 — រូបភាពទី 3.1: រូបបញ្ចាំងនៃ *4D – hypercube* មានចំនុចគែម 8 ចំពោះបន្ទាត់បញ្ឈរនៃ *3D- Cube*
រូបភាពទី 3.2: ការបញ្ចាំងរូប hypercube

រូបភាពទី 2.2 បង្ហាញពីវ៉ិចទ័រទូទៅបីនៃគូប និងរូបភាពរបស់វាស្ថិតនៅក្រោមអង្កត់ រូបភាពបញ្ចាំងកែងគ្នា។ បន្ទាត់បញ្ឈរទាំងអស់នៃគូប មានផ្សំបន្ទាត់នៃវ៉ិចទ័រមេគុណ 0 និង 1។ រូបភាពបញ្ចាំងជាជួរមានលក្ខណៈដូចគ្នាទៅនឹងរូបភាពនៃបន្ទាត់បញ្ឈរទាំងនោះដែរ។ ពេលគេពិព៌ណនាពីគូបមាន $n$ វិមាត្រជាមួយការផ្សំបន្ទាត់វ៉ិចទ័រទូទៅមាន $n$ បន្ទាត់ដែលបង្ហាញដូចខាងក្រោម :

ចំពោះគូបមាន $n$ វិមាត្រមានរូបបញ្ចាំងកែងគ្នាក្នុង $\mathbb{R}^2$ និងប្លង់បញ្ចាំងត្រឹមត្រូវដូចជាវ៉ិចទ័រទូទៅ ចំពោះបន្ទាត់បញ្ឈរត្រូវនឹងពហុកោណមាន $n$ ជ្រុង។ យោងទៅតាមការកើនឡើងរូបភាពនៃបន្ទាត់បញ្ឈរផ្សេងៗទៀត។ លទ្ធផលជាចុងក្រោយស្ថិតក្នុងការបន្សំបន្ទាត់ដែលមានទំនាក់ទំនងនឹងគ្នា។ (ចំពោះ $n=3$ មើលរូបភាពទី2.2 និងឧទាហរណ៍ 1 ត្រីកោណមានវ៉ិចទ័រទូទៅមួយ)។ ដើម្បីឲ្យយល់ពីរបៀបបញ្ចាំងរូបភាពគូបមាន $n$ វិមាត្រ នៅខាងលើ ក្នុងលំហដែលមាន $k$ វិមាត្រ ត្រូវបានគេទទួលជាលើកដំបូងដោយយើងពន្យល់ពីគូបមួយបញ្ចាំងរូបភាពលើបន្ទាត់ក្នុងលំហមានវិមាត្របី ចំពោះបន្ទាត់បញ្ឈរនីមួយៗនៃគូបយកប្លង់មួយកែងទៅបន្ទាត់ដែលមានកំពូល។ ចំនុចកាត់គ្នានឹងបន្ទាត់មួយមានរូបភាពបញ្ចាំងកែងគ្នានៃកំពូលមួយលើបន្ទាត់។ ជាការសង្ខេប យើងបញ្ចាំងគូបមាន $n$ វិមាត្រ លើប្លង់មាន $k$ វិមាត្រដែរ។ ចំពោះកំពូលនីមួយៗនៃគូបយកប្លង់ដែលមាន $(n-k)$ វិមាត្រ កែងទៅប្លង់មាន $k$ វិមាត្រ ដែលមានកំពូលមួយ។ ចំនុចកាត់មួយនៃប្លង់ពីរនេះ គឺជារូបភាពបញ្ចាំងកែងគ្នាទៅនឹងប្លង់មានវិមាត្រ $k$ ។ ដូច្នេះ រូបភាពបញ្ចាំងកែងគ្នាមានវិមាត្រពីរនៃគូបមួយមានវិមាត្រ 5 អាចត្រូវបានគេបង្ហាញប្រាប់ដូចខាងក្រោម:

ដោយផ្អែកលើរូបភាពនៃវ៉ិចទ័រទូទៅ (ការចង្អុលប្រាប់បន្ទាត់បញ្ឈរនៃពហុកោណ) រូបភាពនៃបន្ទាត់បញ្ឈរផ្សេងទៀត អាចត្រូវបានគេស្វែងរកដោយបន្ថែមវ៉ិចទ័រទាំងនោះ (មើលរូបភាពទី 4.1) រូបភាពនៅតាមជ្រុងទាំងនេះជាគូបមួយល្បីល្បាញ ដែលត្រូវបានគេហៅថា Penrose – Romhs (មើលក្នុង Senechal 1995)។ វាជាបាតុភូតដ៏អស្ចារ្យផ្សេងទៀតត្រូវបានគេបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 4.2 ក្រោមរូបភាពបញ្ចាំងនៃគូបមានវិមាត្រ 6 អង្កត់ទ្រូងរបស់វាមានចំនុចបញ្ចប់ $(0,0,0,0,0,0)$ ទៅ $(1,1,1,1,1,1)$ មានបន្ទាត់បញ្ឈរ 7 មានរូបភាពបញ្ចាំងដូចគ្នា។ ចំនួននៃរូបភាពពីមុនត្រូវបានគេអោយក្នុងរូបភាព 4.2។

រូភាពទី 4.1 និង 4.2 — រូភាពទី 4.1: រូបបញ្ចាំងគូបមួយ មានវិមាត្រ 5 លើប្លង់
រូភាពទី 4.2: រូបបញ្ចាំងគូបមួយ មានវិមាត្រ 6 លើប្លង់

៣. ការប្រសព្វនៃគូប

ការបង្ហាញដោយស្ទាត់ជំនាញនៃគូបមួយមានវិមាត្រ 4 ត្រូវបានឲ្យរូបរាងខុសៗគ្នានៃចំនុចប្រសព្វពេលប្លង់មានវិមាត្របីកាត់គ្នា។ ជាដំបូង គេមានគូបមួយ (មានវិមាត្របីក្នុងលំហ) កាត់ប្លង់មួយ នឹងអាចមើលឃើញ។ វាត្រូវបានគេសន្មតថា វត្ថុនេះធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងដោយល្បឿន ( $V$ )។ ជាពិសេសវាមានភាពងាយស្រួល ក្នុងការពិពណ៌នាពីស្ថានភាពនេះនៅពេលគូបមួយ (មានប្រវែង $a$ ) ភ្ជាប់ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ ប្លង់មួយមាន $E(t): x_1 + x_2 + x_3 - \sqrt{3} \cdot v \cdot t = 0$ ផ្លាស់ប្តូរតាមអង្កត់ទ្រូងនៃគូបដែលមានល្បឿន ( $V$ ) តាមរយៈគូបនេះ។ គូបនេះមានរូបរាងប៉ោងដោយខ្លួនឯង។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំនត់ចំណុចកាត់ជ្រុងគ្រប់ពេល ។ យើងយកផ្នែកដែលកាត់ជាចំណុចប៉ោងនៃចំណុចកាត់ទាំងនេះ។ លំហដែលមានវិមាត្របីកាត់គ្នា។ ពេលដែលមានការផ្លាស់ប្តូរតាមរយៈគូបមានវិមាត្រ 4 នឹងត្រូវបានគេប្រៀបធៀបដូចខាងក្រោម :

គូបមួយមានវិមាត្រ 4 ដែលមានប្រវែងជ្រុង $\alpha$ នឹងត្រូវបានគេអោយកាត់លំហ $R(t)$ ដោយសារការផ្លាស់ប្តូរល្បឿន ( $v$ ) នៅតាមអង្កត់ទ្រង់នៃគូប។ ដូច្នេះ យើងកំនត់ការប្រៀបធៀបដូចតទៅ:

$R(t): x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - 2 \cdot v \cdot t = 0$

ជាថ្មីម្តងទៀត វាល្មមគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ថាចំណុចជាច្រើនដែលកាត់គ្នានៃគូបជាមួយប្លង់ $R$ ។

៤. កូអរដោនេតាមបែបធរណីមាត្រ

អង្កត់ប្រវែងមួយឯកតាជាគឺចាត់ទុកថាជាវិមាត្រមួយ ឬវិមាត្រពីរនៃឯកតាគូប។ ការពិនិត្យមើលកូអរដោនេនៃបន្ទាត់បញ្ឈរក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ យើងទទួលបានដូចតទៅ :

អង្កត់មួយមានឯកតា $A_1=(0) \qquad A_2=(1)$
ការេមួយមានឯកតា $A_1=(0|0) \qquad A_2=(1|0) \qquad A_3=(0|1) \qquad A_4=(1|1)$
គូបមួយមានឯកតា $A_1=(0|0|0) \quad A_2=(1|0|0) \quad A_3=(0|1|0) \quad A_4=(1|1|0)$
$A_5=(0|0|1) \quad A_6=(1|0|1) \quad A_7=(0|1|1) \quad A_8=(1|1|1)$

តាមរយៈការបូកកូអដោនេបន្តគ្នាជាមួយមេគុណ 0 និង 1 ដែលជាកូអរដោនេបន្ទាត់បញ្ឈរ។ ការពិចារណា ដែលវត្ថុផ្សំឡើងដោយទំនាក់ទំនងនៃចំនួន $N(n,k)$ មានន័យថា $k$ វិមាត្រ (ជាព្រំដែនគូប) នៃគូបមាន $n$ វិមាត្រ (មើល e.g. Grauman, 2009)។ $N(n,k) = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}$ រូបមន្តនេះគេទទួលយកដោយប្រតិបត្តិតាមដូចតទៅ:

រាល់វិមាត្រ $k$ (ដែនកំណត់គូប) ស្របប្លង់មានវិមាត្រ $k$ ដែលជាការអនុវត្តន៍តាមដោយវ៉ិចទ័រទូទៅ $k$ នៃគូបមានវិមាត្រ $n$ (មើលផ្នែកទី3)។ វាជាផលវិបាកមួយក្នុងការរកកូអរដោនេនៃបន្ទាត់បញ្ឈរមានវិមាត្រមួយ និងមានវិមាត្រ $k$ (ដែនកំណត់គូប) គឺមានភាពខុសគ្នាតាមរយៈមេគុណ $k$ (និងរាល់កំពូលនីមួយៗរបស់គូប)។
មាន $\binom{n}{k}$ ដើម្បីជ្រើសរើសមេគុណ $k$ ចេញពី $n$ ។
មាន $2^n$ ដើម្បីជ្រើសរើស (ចាប់ផ្តើមពីកំពូល)។
មាន $2^k$ ចាប់ផ្តើមពីកំពូលទៅដែនកំណត់គូប។

ឧទាហរណ៍ 3: គូបមានវិមាត្រ 3 $(n=3)$

ចំនួនបន្ទាត់បញ្ឈរ $(k=0)$ : $N(3,0) = \binom{3}{0} \cdot 2^{3-0} = 8$
ចំនួនជ្រុង $(k=1)$ : $N(3,1) = \binom{3}{1} \cdot 2^{3-1} = 12$
ចំនួននៃផ្ទៃមុខ $(k=2)$ : $N(3,2) = \binom{3}{2} \cdot 2^{3-2} = 6$
ចំនួននៃគូប $(k=3)$ : $N(3,3) = \binom{3}{3} \cdot 2^{3-3} = 1$

ផ្ទៃមុខមានវិមាត្រ $K$ នៃគូបមានវិមាត្រ $n$ : $N(n,k) = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}$

n\k	0	1	2	3	4	5	…	k	…	n
0	1	–	–	–	–	–	–	–	–	–
1	2	1	–	–	–	–	–	–	–	–
2	4	4	1	–	–	–	–	–	–	–
3	8	12	6	1	–	–	–	–	–	–
4	16	32	24	8	1	–	–	–	–	–
5	32	80	80	40	10	1	–	–	–	–
6	…	…	…	…	…	…	…	–	–	–
7	…	…	…	…	…	…	…	–	–	–
8	…	…	1792	1792	…	…	…	–	–	–
…								–	–	–
k								1	–	–
…								…	…	–
n	$2^n$	$n \cdot 2^{n-1}$	$\binom{n}{2} \cdot 2^{n-2}$	…	…	…	…	$\binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}$	…	1

$N(n,n)=1 \qquad N(n,0)=2^n \qquad N(3t-1,t-1)=N(3t-1,t) \qquad N(n,n-1)=2n \qquad n \cdot N(n-1,0)=N(n,1)$

ពណ៌លឿងជាសំខាន់ក្នុងតារាងខាងលើត្រូវបានគេបកស្រាយជាគូបមានវិមាត្រ 0។ ដូច្នេះ រូបមន្តខាងលើត្រឹមត្រូវចំពោះ $n=0$ ។ ចំនួនតគ្នាផ្នែកសំខាន់ស្ថិតក្នុងព៌ណខុសគ្នាដែលគេបកស្រាយដោយប្រើរូបមន្តចំពោះ $N(n,k)$ ខាងលើដូចជា :

$N(n,n-1) = 2n$ (ពណ៌ក្រហម)
$n \cdot N(n-1,0) = N(n,1)$ (ពណ៌បៃតង)
ចំពោះ $t \geq 1$ , $N(3t-1,t-1) = N(3t-1,t)$ (ពណ៌ខៀវ)
ម្យ៉ាងទៀតការគិតឃើញត្រូវបានគេផ្តល់អោយដោយគណនាទិន្នន័យដែលគូបមានវិមាត្រ $n$ ជាចំនួនត្រូវគ្នាចំពោះ $(n-1)$ វិមាត្រ។
$N(n,k) = 2 \cdot N(n-1,k) + N(n-1,k-1)$ ។
ឧទាហរណ៍ 4: សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តខាងលើ
$\begin{aligned} N(n,k) &= 2 \cdot N(n-1,k) + N(n-1,k-1) \\ &= 2\binom{n-1}{k} \cdot 2^{n-1-k} + \binom{n-1}{k-1} \cdot 2^{n-1-(k-1)} \\ &= \left[\binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\right] \cdot 2^{(n-k)} = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k} \end{aligned}$

ដូច្នេះ $N(n,k) = \binom{n}{k}\cdot 2^{n-k}$

ជាការពិតណាស់ អំណះអំណាងផ្នែកពិជគណិតទាំងនេះ នឹងអាចជាភាពងាយស្រួលក្នុងការបកស្រាយតាមបែបធរណីមាត្រ និងបំលែងទៅជាផ្នែកធរណីមាត្រ។

៥. Quasicrystals-Projections from higher dimensions

ការចាប់ផ្តើមដោយស្មានទុកជាមុនថ្នាក់ផលិកសាស្ត្រតាមលក្ខណៈពិតៗ សំណង់ផលិកសាស្ត្រគឺជាភាពសមគ្នាតាមការបកស្រាយរបស់គេ។ ការបង្ហាញគណិតវិទ្យានៃសំណង់ទាំងនេះអោយបានច្បាស់លាស់ (លក្ខខ័ណ្ឌនៃផលិកសាស្ត្រ) ខាងក្រោមគ្មានការរង្វិលដូចគ្នាតាមលំដាប់ 2, 3, 4 និង 6។ នេះជាភាពត្រូវគ្នាទៅនឹងការសង្កេត ចាប់ពី Shechtman et al (1984) បានស្វែងរកសំណង់គ្មានពេលកំនត់ក្នុង Al-Mn–alloy ដែលមានរង្វិលជុំវិញ 5 ដង ។ Crystallographers ហៅសំណង់ទាំងនេះ Quasicrystals។ ដើម្បីកាន់តែច្បាស់បន្ថែមទៀតយើងពិនិត្យឧទាហរណ៍ខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ 5: Quasicrystals មានវិមាត្រមួយបន្ទាត់ $g_1: y = (T-1) \cdot x$ ក្នុង $\mathbb{R}^2$ ហើយកែងបន្ទាត់ទាំងពីរកាត់គល់អ័ក្សមាន $T = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5}$ យើងគិតថារូបបញ្ចាំងកែងនឹងការេមួយឯកតាលើបន្ទាត់ $g_2$ (អង្កត់ពណ៌ក្រហម)។ ជាបន្តទៅទៀត យើងពិនិត្យមើលចំណុចទាំងនោះលើ $\mathbb{Z}^2$ ដែលមានរូបភាពនៅក្រោមការបញ្ចាំង ហើយស្ថិតលើបន្ទាត់អង្កត់ពណ៌ក្រហម។ ចំណុចទាំងនេះកែងលើ $g_1$ (ចំណុចបៃតង)។

រូបភាពទី 6: *Quasicrystals* មានវិមាត្រមួយ

ប្រវែងអង្កត់លើរូបភាពបញ្ចាំងអាចយកតំលៃពីរតែប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ យើងអាចនិយាយបានថា វាជាសំណង់តាមលំដាប់។ តំលៃជាស៊េរីមើលទៅមានច្រើន ឬតិចច្របូកច្របល់គ្នា មិនមានការយល់ដឹងដូចគ្នានោះទេ។ ប៉ុន្តែបើសិនជាយើងពង្រីកជាសាកលដែលមានវិមាត្រពីរនោះ អ្វីៗគ្រប់យ៉ាងវាពិតយល់ច្បាស់។ សំណង់ Quasicrystals របស់វាជាផ្នែកមួយនៃរូបភាពបញ្ចាំងនៃក្រឡាផ្ទៃការេពិតៗ។ ភាពទូលំទូលាយនៃវិមាត្រមានការយល់ដឹងតិចតួច អំពីសំណង់ Quasicrystals។ បញ្ហានេះបានដំណើរការទៅពេញលេញ Sebechal (1995) មានការពិពណ៌នារួចហើយ និងសន្និដ្ឋានចំពោះវិធីសាស្ត្ររូបភាពបញ្ចាំង និងវិធីរកក្រឡាផ្ទៃជាច្រើនជាន់ដែលមានសំណើចំណុច Quasicrystalline។ ជាឧទាហរណ៍ ក្រឡាផ្ទៃគូបមានវិមាត្រ 5 ( $\mathbb{Z}^5$ ) ជាប្លង់ពិតសំណុំចំណុចដូចមានក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់ខាងលើ។ គេទទួលយក និងអាចត្រូវបានគេឃ្លាំមើល Quasicrystals មានវិមាត្រពីរ។ សំណុំចំណុចរបស់វាបង្ហាញពីខ្សែឈរដូច Penrose–tilling នៃប្លង់មួយ។

ការសន្និដ្ឋានៈ

យើងបានស្វែងរកមធ្យោបាយពីរបៀបកាងារនៃអ្នកគណិតវិទ្យាដែលពេលខ្លះបានសង្ខេបជារួមជាប្រយោគដូចខាងក្រោម :

“ គណិតវិទ្យាធ្វើឲ្យយើងមើលអ្វីដែលមិនឃើញ នឹងអាចមើលឃើញ ”

ពេលអ្នកមិនយល់អ្វីមួយអ្នកព្យាយាមផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែង។ វាអាចកើតឡើងនូវចំណុចថ្មីផ្សេងទៀតដែលអោយអ្នកអាចពង្រីកចំណេះដឹងបាន។ បញ្ហានេះវាមានរួចមកហើយនូវអ្វីដែលអ្នកព្យាយាមយល់រូបរាងរបស់វា។ អ្នកជ្រើសរើសប្រព័ន្ធអោយស៊ីគ្នាសមរម្យដែលមានសមីការសាមញ្ញ និងបង្ហាញរបស់ណាមួយដែលគេមិនស្គាល់។ សិស្សដែលទទួលបាននូវចំណេះនេះ នឹងធ្វើការងារខាងក្រៅជាមួយនឹងចំណេះដឹងនោះដោយគ្មានការភិតភ័យ ឬក៏ប្រកែកច្រើនដងចំពោះវិមាត្រទាំងនោះទេ។

ពួកគេនឹងយល់កាន់តែច្បាស់នូវអត្ថន័យនៃវិមាត្រនោះក្នុងផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រ។
ពួកគេនឹងយល់ខុសៗគ្នា ទៅតាមលទ្ធភាពនៃដំណើរការវិធានបទនោះ។
ប្រើភាពស្រដៀងគ្នាដើម្បីវាស់ស្ទង់ចំណេះដឹងអោយបានល្អក្នុងពិភពលោកមានវិមាត្រ 3។
ប្រើលក្ខណៈប្រធានបទគំនិតអរូបិយក្នុងពិភពលោកនេះអោយមានគំនិតប្រាជ្ញា។
ធ្វើអោយនឹកឃើញ និងធ្វើដែដែលៗនូវចំណេះដឹងរបស់គេអំពីរូបភាពបញ្ចាំងដែលមានវិមាត្រ 3 ក្នុងប្លង់។

វិមាត្រខ្ពស់ (PDF)

វិមាត្រខ្ពស់

Related

Leave a ReplyCancel Reply

Share this:

Related

Leave a ReplyCancel Reply