ច្បាប់ Benford

អស់រយៈពេលជាយូរណាស់មកហើយ ដែលមានចំនួនជាច្រើន ដែលប្រើប្រាស់នៅក្នុងហិរញ្ញវត្ថុ ប្រសិនបើមិនមានអ្នកចេះគណិតវិទ្យានោះទេ ជាការពិតណាស់ ដែលលេខយ៉ាងច្រើនត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅក្នុងហិរញ្វត្ថុដោយប្រើរូបមន្តគណិតវិទ្យា ដែលហៅថាច្បាប់ Benford ឬច្បាប់សំខាន់សម្រាប់លេខដំបូង។ ប្រសិនបើ យើងមិនបានប្រើរូបមន្តនេះធ្វើការវិភាគលើស្ថិតិរបស់យើង នោះនឹងមានការខាតបង់ ហើយក៏ដូចជាការមិនបានគិតហ្មត់ចត់ដែរ។ ច្បាប់ Benford ចែងថា បើយើងប្រមូលទន្និន័យជាច្រើនដោយច្នៃដន្យ ហើយគណនាប្រេកង់តួលេខសំខាន់ដំបូង នោះតួលេខមួយសំខាន់ដំបូងកើតមានចន្លោះ 30% ក្នុងពេលនោះ។ ពេលដែលតួលេខសំខាន់ដំបូងលេខ 9 នោះកើតមាន 4.5% ក្នុងពេលនោះ។ រូបមន្តនេះ យើងសង្កេតឃើញថា ភាគច្រើននៅក្នុងសំណុំគឺដូចទៅនឹងស្វ័យគុណរបស់ស្វ៊ីត Fiboncci។ ហេតុអ្វី? ឥឡូវយើងនឹងផ្ទៀងផ្ទាត់ការបង្ហាញ។ យើងនឹងបង្ហាញឲ្យឃើញទាំងអស់គ្នានូវច្បាប់ Benford ដែលបានធ្វើបំណែងចែកតួលេខសំខាន់ដំបូងនៃចំនួនតួលេខសំខាន់ដំបូង ជាចំនួនវិជ្ជមានខិតជិតសូន្យ ជាកន្សោមទសភាគ។ ឧទាហរណ៍ តួលេខសំខាន់នៃ $\pi$ គឺ 3 នោះ 2371.5 គឺ 2 និង 0.00563 គឺ 5។

វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលមានសារៈប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា សរសេរជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន $x$ ពេលដែល $m \in [1,9)$ ដងស្វ័យគុណនៃ 10 នោះ $x = m 10^n,~ n \in \mathbb{Z}$ ។

នៅពេលដែលតួលេខសំខាន់ដំបូង $x$ ជាចំនួនគត់ ផ្នែក $m$ តាងដោយ $[m]$ ចំនួន $m$ ហៅថា Mantissa(a) នៃ $x$ ។ ឥឡូវយើងសន្មត់ថា បើយើងជ្រើសរើសចំនួនណាមួយដោយចៃដន្យតាមកុំព្យូទ័រជាប្រេកង់ $B(i)$ នៃតួលេខសំខាន់ជាងគេ $i$ នោះ $B(i)$ ដែលទទួលបានគឺប្រហែល $\log_{10}\left(1+\frac{1}{i}\right)$ ។ ខាងក្រោមនេះជា ប្រេកង់ដែលយើងទទួលបាន៖

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$B(i)$	0.3010	0.1761	0.1249	0.0969	0.0792	0.0669	0.0580	0.0511	0.0458

តារាងប្រេកង់នៃច្បាប់ Benford

រូបភាពទី1: ប្រេកង់ B(i) នៃច្បាប់ Benford

ឥឡូវនេះយើងកត់ត្រាសង្ខេបនៃប្រវត្តិសាស្ត្របាតុភូតដែលបានរកឃើញដំបូងដោយតារាវិទូ SIMON NEWCOME (1835-1909) ដែលបានផ្សព្វផ្សាយជាលើកដំបូងនូវទំព័រតារាងលោការីតមានទំនាក់ទំនងដ៏តូចជាលើកដំបូង ដែលសំខាន់ មានមួយចំអាមដៃដែលមានការពេញនិយម ច្រើនបំផុតនៅលើគេហទំព័រ។ ការរកឃើញរបស់គាត់គឺមានភាពមិនច្បាស់លាស់ ហើយច្បាប់ដែលបានបន្ថែមដោយ Frank Benford (1883-1948) នៅឆ្នាំ1938។ Frank Benford ត្រូវបានហៅថាលំដាប់ទី 10 នៃ 1000 នៃចំនួន ដោយការចាប់ផ្តើមនូវការបង្ហាញច្បាប់របស់គាត់។ ទិន្នន័យដែលល្អបំផុតនៃ SIMON Plaffe មួយ គឺជាចំនងជើង 215 លានគណិតវិទ្យា ជាចំនងជើងដែលបង្ហាញដោយច្បាប់ Benford។ សំនុំច្រើននៃចំនួនដែលមិនបានកំនត់ ដូចការបង្ហាញនៃច្បាប់ Benford រឿងហេតុទាំងនេះគឺកើតមានឡើងសម្រាប់ប្រជាជននៃមួយចំនួនជាមួយក្រឡាផ្ទៃនៃប្រទេស ជាមួយប្រវែងនៃទទឹង -ល-។ ប្រហែលអ្នកនឹងបញ្ឈប់ខ្ញុំ ហើយចាប់ផ្តើមនៅក្នុងការរស់នៅ ការស៊ើបសង្កេត… នៅក្នុងកន្លែងមួយណាដែរប្រវែងទាំងនេះ ឬក៏ក្រឡាផ្ទៃបាន? ប្រវែងនៅក្នុង miles ឬក៏នៅក្នុង Kilometers ទាំងនេះវាមិនសំខាន់ទេ។ បើសិនប្រវែងនៃស្ទឹងស្ថិតក្នុង Kilometers គឺបង្ហាញតាមច្បាប់ Benford។ បន្ទាប់មក បើប្រវែងស្ថិតក្នុង Benford គឺបង្ហាញតាមច្បាប់ Benford ដោយប្តូរឯកាតាដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងមាត្រដ្ឋាន។ យើងនឹងឃើញច្បាប់ Benford គឺផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈតែមិនប្រែប្រួលមាត្រដ្ឋាន។ ម្យ៉ាងទៀត វាគឺច្បាប់ប្រូបាបតែមួយដែលផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈមិនប្រែលប្រួលនៃមាត្រដ្ឋាន។

រូបភាពទី 2 ទិន្នន័យខ្លះប្រហែលទៅនឹងកាបង្ហាញនៃច្បាប់Benford ក្រឡាផ្ទៃនៃប្រទេសក្នុងមានលក្ខណៈបួនជ្រុងគិតជាគីឡូម៉ែតក្រឡាផ្ទៃនៃប្រទេសក្នុង មានលក្ខណៈបួនជ្រុងគិតជា miles ហើយនិងប្រជាជននៃប្រទេសទាំងនេះ។ ខ្ញុំបានប្រាប់អ្នកក្នុងការណែនាំនៃចំនួន Fibonacci ដែលបង្ហាញដោយច្បាប់ Benford ប៉ុន្តែនៅក្នុងវិញ្ញាណច្បាប់ Benford… ច្បាប់គឺជាកំរិតមួយ ហើយវាអាស្រ័យទៅនិងប្រព័ន្ធគោល១០ សម្រាប់ការសរសេរចំនួនរបស់ពួកយើង ក្នុងនោះគោល $b$ ជាចំនួនមិនសូន្យដែលជាធាតុរបស់សំណុំ $\{1,\ldots,b-1\}$ ហើយច្បាប់របស់ Benfrod គោល $b$ តាងដោយប្រេកង់នៃលេខដំបូងគឺ $i$ $B_b(i) = \log_b\left(1+\frac{1}{i}\right)$ ។ ចំនួន Fibonacci អនុវត្តន៍តាមច្បាប់ Benford នៃគោល $b$ ! ច្បាប់របស់ Benford គឺជាភាពមិនប្រែប្រួលក្រោមការផ្លាស់ប្តូរគោល។ ហើយគឺជាច្បាប់មិនធ្មមតាមួយនៃប្រូបាបដែលមិនមានភាពប្រែប្រួលក្រោមការផ្លាស់ប្តូរគោល។ ឥលូវនេះពេលវេលានៃការបង្ហាញក៏ឈានមកដល់។ គេតម្រូវថា អ្នកគួរតែចងចាំមុខវិជ្ជាប្រូបាបរបស់អ្នកមួយចំនួន ប៉ុន្តែអ្នកអាចធ្វើការពិសោធន៍ដោយខ្លួនអ្នកផ្ទាល់ មុននឹងធ្វើការចាប់ផ្តើមអានមេរៀនអោយស៊ីជម្រៅ។

១. ភាពមិនប្រែប្រួលក្រោមការផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាន

យើងពិនិត្យទៅលើការផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋានសាមញ្ញមួយដែលទទួលបានដោយសារចំនួនទាំងអស់នៃសំណុំ និងលេខ 2។ ប្រសិនបើយើងពិនិត្យទៅលើចំនួនដំបូង គឺលេខ 1 ពេលនោះលេខដំបូង 1 ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយលេខ 2 ឬ 3។ វាគឺមានភាពងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $B(1) = B(2) + B(3)$ ពិត

$\begin{aligned} B(2)+B(3) &= \log_{10}\left(1+\frac{1}{2}\right)+\log_{10}\left(1+\frac{1}{3}\right) \\ &= \log_{10}\frac{3}{2}+\log_{10}\frac{4}{3} \\ &= \log_{10}\frac{3}{2}\frac{4}{3} = \log_{10}2 = B(1) \end{aligned}$

ដូចគ្នាដែរអ្នកអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ $B(2) = B(4)+B(5)$ ប៉ុន្តែ ថាតើអ្នកអាចគ្រប់គ្រង ឬរៀបចំដោយរបៀបណា ប្រសិនបើ អ្នកធ្វើការផ្លាស់ប្តូរខ្នាតពី miles ទៅ Km ដោយការគុណចំនួន១.៦? ច្បាប់របស់ Benford យើងត្រូវការសិក្សាលក្ខណៈទូទៅរបស់វា តើ $i$ មានន័យដូចម្តេច? វាមានន័យថា ជា mantissa ដែល $m$ ជារបស់ចន្លោះ $[i, i + 1)$ ។ ដូច្នេះ ច្បាប់របស់ Benford គឺជាបំណែងចែកប្រូបាបដោយផ្នែកនៃ mantissa។ ជាទូទៅច្បាប់របស់ Benford នៃ mantissa គឺត្រូវបានឱ្យអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេមួយលើចន្លោះ $[1, 10)$ ។ ពេលនោះយើងអាចជ្រើសរើសចំនួនមួយដោយច្នៃដន្យ យើងអាចគណនា mantissa របស់វា។ យើងយកអថេរច្នៃដន្យ $M$ ដែលយកតម្លៃ $[1, 10)$ ។ យើងឃើញថា វាអនុវត្តន៍តាមច្បាប់របស់ Benford ប្រសិនបើ វាជាអនុគមនដង់ស៊ីតេដែលឱ្យដោយ:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x \log 10}, & x \in [1 , 10 ), \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

ប្រសិនបើ $P(a \leqslant M < b)$ តាងឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេដែល $a \leqslant M < b$ នោះមានន័យថាយើងបាន:

$P( a \leqslant M < b ) = \int_a^b f(x)\, d x$

វាគឺជាលក្ខណៈទូទៅនៃច្បាប់របស់ Benford

$\begin{aligned} B(i) = P(i \leqslant M < i+1) &= \int_i^{i+1} \frac{1}{x \log 10}\, dx \\ &= \frac{1}{\log 10}\big(\log(i+1)-\log(i)\big) = \frac{1}{\log 10}\left(\log\frac{i+1}{i}\right) \\ &= \log_{10}\left(1+\frac{1}{i}\right) \end{aligned}$

តើវាមានន័យដូចម្តេចដែលអថេរច្នៃដន្យ $X$ នៅចន្លោះ $[1, 10)$ ក្រោមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរនៃមាត្រដ្ឋាន? វាមានន័យថា ប្រសិនបើ $c$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយយើងយកអថេរច្នៃដន្យ $Y = cX$ ពេលនោះ mantissa នៃ $M$ អថេរច្នៃដន្យ $Y$ មានអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេដូច $X$ ។ វាមិនមានការលំបាកក្នុងការបង្ហាញថាករណីនេះ $X$ អនុវត្តន៍តាមច្បាប់របស់ Benford ប៉ុន្តែមានករណីជាច្រើនដែលសម្គាល់ឃើញថាវាពឹងផ្អែកទៅលើទំហំនៃ $c$ ។ យើងធ្វើមួយករណីហើយនិងឱ្យអ្នកធ្វើករណីផ្សេងទៀត។ យើងអាចសរសេរ $c = m 10^r$ ដែល $m \in [1, 10)$ ដោយ mantissa នៃ $cX$ ដូចគ្នាទៅនឹង mantissa នៃ $mX$ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសិក្សាទៅលើករណី $c \in [1, 10)$ ។

តើអ្វីជាឧបករណ៍សម្រាប់បង្ហាញ? អ្នកគួរតែរំលឹកមេរៀនប្រូបាបរបស់អ្នកពីព្រោះថា ពេលខ្លះបំណែងចែកអនុគមន៍ វាមានសារៈប្រយោជន៍ជាងអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេសម្រាប់អថេរច្នៃដន្យជាប់។ បំណែងចែកអនុគមន៍នៃអថេរច្នៃដន្យគឺកំណត់ដោយ $F(x) = P(M \leqslant x)$

បើ $X$ គោរពតាមច្បាប់ Benford នោះបំណែងចែកនៃអនុគមន៍គឺ

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1, \\ \log_{10} x, & x \in [1 , 10), \\ 1, & x \geqslant 10. \end{cases} \qquad (1)$

ដូចនេះ យើងត្រូវបង្ហាញថាបើ $X$ គោរពតាមច្បាប់ Benford និង $M$ គឺជាម៉ង់ទីសនៃ $cX$ ដែល $c \in [1, 10)$ នោះបំណែងចែកនៃអនុគមន៍ $M$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ (1)។ នៅក្នុងន័យនេះ យើងត្រូវគណនា $P(M \leqslant z)$ ចំពោះ $z \in [1, 10]$ ។ $M$ ជាម៉ង់ទីសនៃ $cX$ ដែលនៅក្នុងចន្លោះតម្លៃ $[c, 10c)$ ដូចនេះ $M = cX$ ពេលដែល $cX < 10$ និង $cX / 10$ ដែល $cX \geqslant 10$ ។ នៅក្នុងករណីទី 1 ពេលដែល $z < c$ ។ សម្រាប់ម៉ង់ទីសនៃ $cX$ ស្ថិតនៅ $cX$ មានករណីដែលអាចកើតឡើងតែមួយគត់គឺ $cX \in [10, 10c]$ នោះម៉ង់ទីសនៃ $cX$ គឺ $cX / 10$ យើងបាន:

$\begin{aligned} P(M \leqslant z) &= P(1 \leqslant cX/10 \leqslant z) \\ &= P\left(\frac{10}{c} \leqslant X \leqslant \frac{10z}{c}\right) \\ &= F\left(\frac{10z}{c}\right) - F\left(\frac{10}{c}\right) \\ &= \log_{10} z + \log_{10}\frac{10}{c} - \log_{10}\frac{10}{c} \\ &= \log_{10} z \end{aligned}$

២. ច្បាប់ Benford គឺជាច្បាប់ប្រូបាប៊ីលីតេមួយលើម៉ង់ទីស ដែល $X$ ជាតម្លៃមិនប្រែប្រួលក្រោមកម្រិតប្រែប្រួល

វាហាក់បីដូចជាប្រយោគដែលរំភើប ! មិនមែនទេអ្នកនឹងឃើញថា វាបានបង្ហាញមិនគ្រប់គ្រាន់ជាងមុនពេលដែលមានការជំទាស់ពីពេលមុនដែរ។ តាង $X$ ជាអថេរចៃដន្យតាងម៉ង់ទីស និងមានតម្លៃ $[1, 10)$ ។ យើងស្វែងរកបំណែងចែកអនុគមន៍ $F(x)$ ក្រោមសម្មតិកម្មដែល $X$ ជាតម្លៃមិនប្រែប្រួលក្រោមកម្រិតប្រែប្រួលមួយ នោះយើងត្រូវការគណនា៖ $F(x) = P(X \leqslant x) = P(1 \leqslant X \leqslant x)$ ។

នោះយើងមាន $F(0) = 0$ និង $F(10) = 1$ ការលំបាកចំបងនៃការបង្ហាញស្ថិតនៅក្នុងការបកស្រាយថាតើអ្វីវាមានន័យដែល $X$ ជាតម្លៃមិនប្រែប្រួលក្រោមកម្រិតប្រែប្រួល $1 \leqslant X \leqslant x$ និង $c \leqslant cX \leqslant cx$ នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ដូចគ្នា យើងបាន $P(1 \leqslant X \leqslant x) = P(c \leqslant cX \leqslant cx) = F(x)$ (2) ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងពិនិត្យមើលករណីខ្លះ $c \in [1, 10)$ ដែល $cx < 10$ ( $c$ អាស្រ័យលើ $x$ )។ សម្រាប់ $c \leqslant cX \leqslant cx$ , $cX$ គឺស្មើទៅនឹងម៉ង់ទីសរបស់វា។ ដោយ $X$ ជាតម្លៃមិនប្រែប្រួលក្រោមកម្រិតប្រែប្រួល នោះម៉ង់ទីសនៃ $cX$ មានអនុគមន៍បំណែងចែក $X$ នោះ $P(c \leqslant cX \leqslant cx) = F(cx) - F(c)$ ។

បូកបញ្ចូលជាមួយ(2)យើងឃើញថាអនុគមន៍ $F(x)$ ផ្ទៀងផ្ទាត់

$F(x) = F(cx) - F(c),~~~ F(1) = 0,~~ F(10) = 1 \qquad (3)$

គេឲ្យ $c \in [1, 10)$ មិនធំដែរ។ យើងត្រូវរក $F$ ពីសមីការអនុគមន៍ (3) ហើយក្រឡេកមើលបែបនេះប្រសិនបើគេតាង $c = 1 + \varepsilon$ នាំឲ្យ $F(x) = F(x(1 + \varepsilon)) - F(1 + \varepsilon)$ គេអាចសរសេរតែមួយគត់គឺ $\frac{F(x(1 + \varepsilon)) - F(x)}{x \varepsilon} = \frac{F(1 + \varepsilon) - F(1)}{x \varepsilon}$ ដោយ $F(1) = 0$ លីមីត $\varepsilon \longrightarrow 0$ យើងត្រូវស្គាល់ផលចែកមួយដែលកំនត់ គឺជាដេរីវេមួយនៅលើផ្នែកខាងឆ្វេងគឺ $\frac{F(x(1 + \varepsilon)) - F(x)}{x \varepsilon}$ កំនត់មួយគឺ $F'(x)$ ហើយនៅអង្គខាងស្តាំគឺ $\frac{F(1 + \varepsilon) - F(1)}{\varepsilon}$ ល្អៀងទៅរក $F'(1)$ ។ ដូចនេះយើងបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលអាចបំបែកពីឫសអថេរបាន $F'(x) = \frac{F'(1)}{x}$ ។ ដំណោះស្រាយមួយគឺ $F(x) = F'(1) \ln x + C$ ដោយ $F(1) = 0$ យើងមាន $C = 0$ ម្យ៉ាងទៀត $F(10) = 1$ ហើយ $F'(1) = \frac{1}{\ln 10}$ ដូចនេះ $F(x) = \frac{\ln x}{\ln 10} = \log_{10} x$ ។

២. ហេតុអ្វីបានជាចំនួនរួមពីដើមតាមរូបមន្ត Benford?

ចម្លើយរបស់លោក Thiedore Hill ក្នុងឆ្នាំ1995 ហើយយើងនឹងពិភាក្សាសង្ខេបនូវគំនិតរបស់គាត់ ចំពោះសំណុំទាំងអស់ មិនមែនជាសំណុំទាំងអស់នៃចំនួនស្របតាមច្បាប់ Benford។ សម្រាប់ការកើនឡើងម្តង ប្រសិនបើយើងរាប់កម្ពស់មនុស្សច្រើនជាងម៉ូតលើកលែងតែមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ ក្នុងចំណោមពី 1 និង 2 នឹងកើនឡើង ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរទំហំជា feet (1 foot ប្រហែល 30cm) អ្នកនឹងផ្លាស់ប្តូរពីការចែកសញ្ញាណដំបូងពី 0 ទៅ 99។ ដូចនេះសំណុំចំនួនមិនផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាននោះទេ។ មានភាពខុសគ្នារបស់សំណុំរងនៃចំនួនជាមួយនឹងមាត្រដ្ឋានពិសេសព្រោះថាសំណុំគឺវាធំ ហើយជាចំនួនដែលយកមកពី 0 ដល់ 9 ធំជាង។ ភាពខុសគ្នាយ៉ោងច្រើននៅពេលដែលមានមាត្រដ្ឋានច្រើន។ គុណចំនួនទាំងអស់ដែលមានក្នុងសំណុំដោយចំនួនថេរវិជ្ជមាន នាំឲ្យផ្លាស់ប្តូរនៃវត្ត មានរបស់មាត្រដ្ឋានក្នុងសំណុំថ្មី។ ដូច្នេះយើងរំពឹងសំណុំនៃចំនួន នឹងមាន ប្រសិនបើវាគ្មានមាត្រដ្ឋានពិសេសណាមួយ។ ដូចនេះវានឹងស្របទៅតាមច្បាប់ Benford នេះជាការពន្យល់ដ៏ល្អសម្រាប់សំណុំនៃពីរសំណុំ ប៉ុន្តែវាបានពន្យល់ពីក្រឡាផ្ទៃនៃប្រភេទចំនួនប្រជាជននៃប្រទេសនេះ ឬគួរតែប្រវែងស្របទៅតាមច្បាប់ Benford យើងនឹងពិភាក្សានៃការពន្យល់ថ្មីនៅឆ្នាំ 2008 សម្រាប់ករណីនេះផ្តល់ដោយ Gauvrit, Delahaye, Fewster។ ការពិភាក្សារបស់ពួកគេ គឺយកជាការបានសម្រាប់សំណុំចំនួនធំដែលយកមកពីឫស។

៤. ការលាតត្រដាងសំណុំនៃចំនួនលើសពីលំដាប់ពីរ ឬបីនៃទំហំ តាមច្បាប់ Benford

យើងនឹងធ្វើនៅក្នុងគោល 10 ហើយយើងមានចំនួនវិជ្ជមាន $x$ ដែលអាចសរសេរ $x = m 10^n$ ដែល $m \in [1, 10)$ ហើយ $n \in \mathbb{Z}$ យើងរៀប $n$ នៃទំហំ ហើយយើងនិយាយពីតំរៀបទំហំ ប្រសិនបើមានតំលៃ $n$ ឬសម្រាប់សុំណុំនៃចំនួន (ចំណាំថា លក្ខណៈនេះគឺមិនប្រែប្រួលក្រោមការផ្លាស់ប្តូរនៃមាត្រដ្ឋានទេ) សម្រាយការពន្យល់គោលបំណងនៃចំនួនផ្តេក $[1, 10^6)$ ។ បន្ទាប់មក ជាមួយនឹងលេខ 1 នៅក្នុងសំណុំពី 1 ទៅ 9 មានតែមួយ $S_1 = [1, 2) \cup [10,20) \cup [100,200) \cup [1000, 2000) \cup [10^4 , 2 \times 10^4 ) \cup [10^5 , 2 \times 10^5)$ ហើយ សំនុំ $S_1$ ជាមួយនឹងតម្លៃពី 0 ទៅ 9 ផ្សេងទៀត វាត្រូវផ្លាស់តាមលោការីតគោល 10 នៃចំនួនដែលមាន $Y = \log_{10} x$ ហើយ $Y = \log_{10} m + n$ ឲ្យបង្ហាញថា អថេរចៃដន្យ $M$ លើចន្លោះ $[1, 10)$ គោរពតាមច្បាប់ Benford ហើយអថេរចៃដន្យ $Z = \log_{10} M$ ជាទម្រង់ងាយលើចន្លោះ $[0, 1)$ ។ ដូច្នេះ វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បង្ហាញថាការបែងចែកនៃអនុគមន៍ គឺជាទម្រង់ងាយរបស់តំលៃនៅលើចន្លោះ $[0, 1)$ ពិតនៅពេលដែល $P(Z \leqslant z) = P(0 \leqslant \log_{10} M \leqslant z) = P(1 \leqslant M \leqslant 10^z) = \log_{10} 10^z = z$ ប្រសិនបើ $X$ ស្ថិតក្នុងសំណុំ $S_1$ ហើយ $Y$ ស្ថិតក្នុងសំណុំ $T_1 = \log_{10} S_1$

$T_1 = [0, \log_{10} 2) \cup [1, 1 + \log_{10} 2) \cup [2, 2 + \log_{10} 2) \cup [3, 3 + \log_{10} 2) \cup [4, 4 + \log_{10} 2) \cup [5, 5 + \log_{10} 2)$

ហើយស្រដៀងទៅនឹងតួលេខដទៃទៀត ដោយការជឿជាក់ថាការយកលេខដោយចៃដន្យនៅក្នុងសំណុំនីមួយៗគឺជាអថេរចៃដន្យ $X$ ដែលយកតម្លៃនៅក្នុងចន្លោះ $[1, 10^6)$ ។ បន្ទាប់មក $Y = \log_{10} X$ គេយកតម្លៃក្នុងចន្លោះ $[0, 6)$ ។ គេចងចាំថា អថេរចៃដន្យខ្លះ គឺស្ថិតក្នុងសំណុំដទៃទៀតដែលជាសមីការផ្ទៃនៅលើក្រាហ្វិកនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេដែលក្រៅពីសំណុំនេះ ប្រសិនបើអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ $f$ នៃ $Y$ ស្ថិតនៅក្រៅចន្លោះ $[0, 6)$ គឺដូចគ្នានឹងរូបភាព 3 (a) ហើយយើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលល្អ។ ជារឿយៗ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏វានៅតែច្រើនជាងគេដែរ។ វានឹងមិនអាចកើតឡើងដូចរូបភាព 3(b) ទេ ប៉ុន្តែ វាមានសារៈសំខាន់ ជាសំណុំដើមនៃចំនួនដែលបានលាតត្រដាងលើសពីលំដាប់មួយចំនួននៃទំហំ ចំនែកភាពខុសគ្នាដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការឲ្យ ជាលើកដំបូងដែលទទួលបានជោគជ័យគឺចំនួន $i$ ដែលស្រប ហើយលើសពីកន្លះរង្វង់។ ផលបូកប្រវែងទាំងនោះជាលំដាប់នៃ $\log_{10}\left(1+\frac{1}{i}\right)$ នៃប្រវែងទទឹងសរុប។ ដូច្នេះ វាមានភាពស្មើគ្នា ប្រសិនបើអនុគមន៍ $f(x)$ វាមិនដូចទៅនឹងកន្លះរង្វង់ដទៃទៀត។ វាមានមួយក្នុងចំណោមទាំងនោះ ដែលអាចសង្ឃឹមថានឹងមានកម្ពស់ដូចគ្នាទៅនឹងលំដាប់នៃទំហំសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃតួលេខ។ នៅពេលដែលវាកើតឡើង នោះទិន្នន័យទៅតាមច្បាប់លោក Benford

(a) អនុគមន៍ដងស៊ីតេ f ដូចៗគ្នា (b) អនុគមន៍ដងស៊ីតេ f មិនដូចគ្នា
រូបភាព 3: ផ្ទៃត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រេកង់នៃតួសំខាន់ដំបូង 1,2,3,4 ចំពោះអនុគមន៍ដងស៊ីតេពីរខុសគ្នានៃ Y។ តម្លៃត្រូវគ្នានៃផ្ទៃគឺស្ថិតនៅក្នុងរូបភាពទី 4

រូបភាពទី៤ — (a) អនុគមន៍ Density នៃ f
(b) ផ្ទៃក្រឡានៅក្រោមខ្សែកោង ជាតួលេខដ៏សំខាន់នៃ f ហើយចំពោះ អនុគមន៍ឯកសណ្ឋានដូចរូបទី៤។ ផ្ទៃក្រឡាផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងប្រេកង់ នៃតួលេខដំបូង 1,2,3 និង 4 សម្រាប់អនុគមន៍ Density នៃរូប 3(b) នៅខាងស្តាំយើងឃើញតម្លៃទាំងនេះស្អាត ហើយជិតទៅនឹងទំនាក់ទំនង ទាំងនោះដោយច្បាប់របស់ Benford ក្នុងករណីនៃអនុគមន៍ Density ឯកសណ្ឋានចំពោះ y ។

៥. យើងអាចសាកល្បងដោយវិធីណា បើសំណុំនៃលេខ តាមច្បាប់របស់ Benford ?

បើយើងធ្លាប់បានរៀនមុខវិជ្ជាស្ថិតិ ហើយនោះអ្នកនឹងបានរៀននូវ $\chi^2$ goodness-of-fit test។ ការសាកល្បងនេះ អនុញ្ញាតអោយអ្នកពិនិត្យថា ទិន្នន័យមួយចំនួនតាមដោយរបាយនៃប្រូបាប៊ីលីតេដែរឬអត់។ ឧបមាថា អ្នកចង់បង្កើតការសាល្បងមួយជាមួយសំណុំនៃធាតុ $n$ មួយ។ អ្នកគ្រាន់តែ បង្កើតនូវតារាងមួយដែល $n_i$ បង្ហាញពីចំនួនលេខក្នុងសំណុំដែលអ្នកបានជ្រើសរើសជាលើកដំបូង $i$ ដែលជាការពិតណាស់ $n = n_1 + \ldots + n_9$ ។ $N_i$ បង្ហាញនូវចំនួននៃចំនួន ដែលគួរតែមានផ្ទុកនៅតួលេខដំបូងគេ $i$ ។ បើសំណុំរបស់អ្នកបានតាមដោយច្បាប់ Benford នោះគេកំណត់វាដោយ $N_i = nB(i)$ :

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$n_i$	$n_1$	$n_2$	$n_3$	$n_4$	$n_5$	$n_6$	$n_7$	$n_8$	$n_9$
$N_i$	$N_1$	$N_2$	$N_3$	$N_4$	$N_5$	$N_6$	$N_7$	$N_8$	$N_9$

តារាង 2: The table for the $\chi^2$ goodness-of-fit test.

បន្ទាប់មកគណនា $\chi^2 = \sum \limits_{i=1}^9 {\frac{(n_i - N_i)^2}{N_i}}$ ហើយមើលតារាងតម្លៃនៃ $\chi^2$ ត្រង់បន្ទាត់ដែលត្រូវទៅនឹង 8 ដឺក្រេ។ ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសយកការតេស្តដោយ 5% ដែលខូចនោះ អ្នកនឹងទទួលយកនូវទិន្នន័យដែលត្រូវនឹងច្បាប់ Benford ដែរ ប្រសិនបើ $\chi^2 < 15.51$ ហើយបដិសេធន៍ចោលនូវករណីផ្សេងទៀត។ នេះជារូបមន្តដ៏រហ័ស ប៉ុន្តែបើសិនជាអ្នកគ្រាន់តែធ្វើតេស្តជាមួយសិស្សរបស់អ្នក នោះអ្នកគ្រាន់តែចំណាយពេលវេលាថែមទៀតដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់នូវសេចក្តីលំអិតនៃតេស្ត និងអត្ថន័យរបស់វា

6 ភាពមិនប្រែប្រួលនៃច្បាប់របស់ Benford ក្នុងការប្រែប្រួលនូវគោល

នេះអាចជាគំរូដូចទៅនឹងភាព មិនប្រែប្រួលក្នុងការប្រែប្រួលនូវខ្នាតដែរ។ វាត្រូវការល្បិចក្នុងការគិតព្រោះយើងមិនអាចកំណត់នូវដែនកំណត់នៃកិច្ចការរបស់យើងទាក់ទងទៅនឹងផ្នែកមួយនៃអាល់ការីត។ ជាការពិតណាស់បើ $x = m 10^n$ នោះផ្នែកនៃ $10^n$ ក៏ចាំបាច់បំប្លែងទៅក្នុងគោលថ្មីផងដែរ ហើយជាការពិតណាស់ភាពលំបាកពិតប្រាកដ គឺការបង្ហាញតាមន័យគណិតវិទ្យា។

៧. ការសន្និដ្ឋាន

ច្បាប់របស់លោក Benford គឺដាក់នូវដំណោះស្រាយដោយមិនបានពិចារណា ចំពោះបញ្ហាអ្វីមួយដែលយើងអាចយកមកធ្វើកាពិសោធន៍ដោយខ្លួនឯង ហើយបញ្ហាទាំងអស់នោះប្រែប្រួលទៅតាមកាពិចារណា។ យើងអាចប្រើវាតាមតម្រូវការដែលយើងចង់ដឹង ប៉ុន្តែគ្មានលក្ខណៈស្តង់ដាទេ។ ជាកាពិតណាស់បញ្ហានិងកំហុសឆ្គងតែងតែកើតមាន ប៉ុន្តែសម្រាប់ការចំណាយពេលវាជាសញ្ញាដំបូងនៃតួលេខ លក្ខណៈពិសេសរបស់ច្បាប់ Benford គឺបានអនុញ្ញាតឲ្យប្រើក្នុងការបំបែកច្បាប់ second significant digit និង third significant digit -ល-។ យើងស្វែងរកវាដោយខ្លួនឯងត្រូវតែគិតក្នុងប្រជុំចន្លោះបណ្តុំសេសនៃចំនួនពិតដែលយើងតែងតែធ្វើវានៅក្នុងទ្រឹស្តីទី second significant digit គឺ $i$ ៕

ច្បាប់ Benford (PDF)

ច្បាប់ Benford

Related

Leave a ReplyCancel Reply

Share this:

Related

Leave a ReplyCancel Reply