قانون بنفورد Benford: تعلم التزوير أو اكتشاف التزوير؟

بقلم: كريستيان روسو Christiane Rousseau
ترجمة: إيمان لكميتي

من المجازفة تغيير الكثير من الأرقام في الملفات المالية إذا كانت معرفتنا بالرياضيات متواضعة. ففي هذا النوع من المستندات، الأرقام تتبع قاعدة رياضية غريبة تدعى قانون بنفورد Benford، أو “قانون الرقم الأول” First-Digit Law غير العادية. إذا نسينا إتباع هذه القاعدة فإن الأعداد لن تتمكن من اجتياز بعض الاختبارات الإحصائية فتلفت الانتباه، مما يجعلها عرضة لدراسة معمقة أكثر من غيرها. يُؤكد هذا القانون أنه إذا جُمِعت الأعداد عشوائيا وحُسبت ترددات أولى أرقامها غير المعدومة، فستكون 30% هي نسبة الأعداد التي يكون أول رقم غير معدوم فيها هو 1، في حين أن الأعداد التي تبدأ بالرقم 9 ستكون نسبة ظهورها 4.5% فقط. تمسّ هذه القاعدة مجموعات أخرى من الأعداد، مثل قوى الرقم 2 أو متتالية فيبوناتشي Fibonacci.

لـــمـــــاذا؟

لدينا تفسيرات مقنعة، سوف نحيطكم بها.

يتعلق قانون بنفورد بتوزيع أول رقم غير منعدم (أو رقم دال) في الأعداد. أول رقم غير منعدم في عدد موجب هو أول رقم غير معدوم يقع في أقصى يسار الكتابة العشرية لهذا العدد. على سبيل المثال، أول رقم دال للعدد $\pi$ هو 3، وفي العدد 2371.5 هو 2. أما بالنسبة لــ 0.00563 فهو 5.

هناك طريقة أخرى لتحديده، والتي ستكون مفيدة لمناقشتنا الرياضية، وهي كتابة كل عدد حقيقي موجب $x$ على شكل رقم $m \in [1,9)$ مضروبا في قوة لــ 10:

$x = m \cdot 10^n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

إذن أول رقم دال غير معدوم لــ $x$ هو الجزء الصحيح لــ $m$ ، الذي يرمز له بــ $\lfloor m \rfloor$ . حيث يسمى $m$ الجزء العشري لــ $x$ . نفرض الآن النتيجة القائلة إنه إذا جمعنا الأعداد بشكل عشوائي وحسبنا التكرار $B(i)$ لأول رقم غير معدوم $i$ ، فإن $B(i)$ يساوي بالتقريب $\log_{10}(1+\frac{1}{i})$ . مما يعطينا التكرارات التالية:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$B(i)$	0.3010	0.1761	0.1249	0.0969	0.0792	0.0669	0.0580	0.0511	0.0458

الجدول 1: تكرارات قانون بنفورد

الشكل 1: التكرارات B(i) لقانون بنفورد. — الشكل 1: التكرارات $B(i)$ لقانون بنفورد.

لنقدم الآن لمحة تاريخية موجزة: اُكتشفت الظاهرة لأول مرة من قبل الفلكي سيمون نيوكومب Simon Newcombe (1835–1909) الذي لاحظ أن الصفحات الأولى للجداول اللوغاريتمية التي تحوي أرقاما دالة صغيرة ممثلة أكثر من التي تليها. لكن ملاحظاته أُهملت وأعاد اكتشافها بنفورد Frank Benford (1883–1948) حوالي سنة 1938. لقد قام بنفورد بجمع عشرات آلاف المختلفة المصادر التي تخضع لقانونه. والملاحظ أن قاعدة البيانات الحديثة لسيمون بلوف Simon Plouffe، والتي تحتوي 215 مليون من الثوابت الرياضية، تتبع أيضا هذا القانون.

هناك الكثير من مجموعات الأعداد غير العشوائية التي تخضع أيضا لقانون بنفورد. كما هو الحال بالنسبة للكثافة السكانية ومساحة البلدان، وأطوال الأنهار، إلى غير ذلك. ربما ستطلبون مني التوقف لأن الشكوك بدأت تراودكم… بأي وحدة كتبت هذه الأطوال والمساحات؟ هل وحدة الأطوال بالأميال أم بالكيلومترات؟ ليس لهذا الأمر أية أهمية… مادامت أطوال الأنهار بالكيلومترات تخضع لقانون بنفورد فإن أطوالها بالأميال تخضع إليه أيضا! فتغيير الوحدة ينجم عنه تغيير في السلم. سنرى أن قانون بنفورد لا يتأثر بتغيير السلم. وعلاوة على ذلك فإن قانون بنفورد هو قانون الاحتمالات الوحيد الذي يبقى ثابتا بتغير السلم.

الشكل 2: هذه بعض المعطيات التي تتبع بالتقريب قانون بنفورد: مساحات البلدان بالكيلومتر المربع، وبالميل المربع، والكثافة السكانية للبلدان.

أخبرتكم في مقدمة المقالة أن أعداد متتالية فيبوناتشي تتبع قانون بنفورد. غير أن قانون بنفورد يبدو إلى حد معين غير موضوعي، ذلك لتعلّقه بالأساس 10 الذي نكتب وفقه أعدادنا. في حيث $b \neq 10$ ، فالأرقام غير المعدومة هي عناصر المجموعة $\{1, \ldots, b-1\}$ ، يخبرنا قانون بنفورد أنه في الأساس $b$ يكون تكرار أول رقم دال $i$ من الشكل $\mathrm{B}_b(i) = \log_b(1+\frac{1}{i})$ . وعليه فأعداد متتالية فيبوناتشي تتبع قانون بنفورد في أي أساس $b$ ! قانون بنفورد ثابت مهما تغيّر الأساس. وهو قانون الاحتمال غير البديهي الوحيد الذي لا يتغيّر بتبديل الأساس.

حان الوقت الآن لتقديم التفسيرات، وهي تتطلب منكم تذكّر بعض دروس الاحتمالات. لكن ربما تفضلون اكتشافها بأنفسكم قبل قراءة البراهين الرياضية.

1. الثبات بتغير السلم

دعنا نجري تغييرا بسيطا في السلم يتمثل في ضرب جميع أرقام مجموعة من الأعداد في الرقم 2. إذا اعتبرنا أن أول رقم في هذه الأعداد هو 1، فستنتج مجموعة جديدة تبدأ أعدادها بأحد الرقمين 2 أو 3. من السهل التحقق من أن $B(1) = B(2) + B(3)$ . بالفعل

$B(2) + B(3) = \log_{10}(1+\tfrac{1}{2}) + \log_{10}(1+\tfrac{1}{3})$

$= \log_{10} \tfrac{3}{2} + \log_{10} \tfrac{4}{3} = \log_{10} \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{4}{3}$

$= \log_{10} 2 = B(1).$

بنفس الطريقة، يمكنكم التحقق من أن $B(2) = B(4) + B(5)$ ، إلخ. لكن ماذا نفعل إذا غيرنا الأميال إلى الكيلومترات. أي إذا ضربنا الأعداد في 1.6؟ كما ذكرنا آنفا فقانون بنفورد أعلاه مُقيَّد جدا ونحن بحاجة إلى تعميمه. ماذا يعني قولنا إن أول رقم دال غير معدوم هو $i$ ؟ معناه أن الجزء العشري $m$ ينتمي إلى المجال $[i, i+1)$ . إذن قانون بنفورد هو توزيع الاحتمال الجزئي للجزء العشري. كثافة على المجال $[1,10)$ . عندما نختار عددا بصفة كيفية، فإننا نستطيع حساب جزئه العشري. مما يعطينا متغيرا عشوائيا $M$ قيمه من المجال $[1,10)$ . نقول إنه يتبع قانون بنفورد إذا كان تابع كثافته من الشكل

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x \log 10} &, x \in [1,10), \\ 0 &, x \notin [1,10). \end{cases}$

إذا كان $\mathrm{P}(a \leq M < b)$ يمثل الاحتمال بحيث $a \leq M < b$ ، فهذا يعني أنه لدينا

$\mathrm{P}(a \leq M < b) = \int_a^b f(x) \, dx.$

وهو فعلا تعميم لقانون بنفورد لأن

$B(i) = \mathrm{P}(i \leq M < i+1) = \int_i^{i+1} \frac{1}{x \log 10} \, dx$

$= \frac{1}{\log 10} (\log(i+1) - \log(i)) = \frac{1}{\log 10} (\log \frac{i+1}{i})$

$= \frac{\log(1+\frac{1}{i})}{\log 10} = \log_{10}(1+\tfrac{1}{i})$

ماذا نقصد بقولنا إن المتغير العشوائي $X$ من المجال $[1,10)$ لا يتغير بتغيير السلم؟ نعني بذلك أنه إذا كان $c$ عددا حقيقيا موجبا تماما وإذا اعتبرنا المتغير العشوائي $Y = cX$ ، فإن الجزء العشري $M$ للمتغير العشوائي $Y$ لديه نفس تابع كثافة $X$ . ليس صعبا إثبات أن هذا ما يحدث لما $X$ يتبع قانون بنفورد، لكننا سنميّز عدة حالات بحسب قيمة $c$ التي سندرس إحداها ونترك لكم بقية الحالات. يمكننا كتابة $c = m \cdot 10^n$ ، حيث $m \in [1,10)$ هو الجزء العشري لــ $c$ . بما أن لــ $cX$ و $mX$ نفس الجزء العشري، فإنه يكفي اعتبار الحالة لما $c \in [1,10)$ .

يكون تابع التوزيع أكثر فائدة من تابع الكثافة لمتغير عشوائي مستمر. تابع التوزيع لمتغير عشوائي $M$ يعرّف بــ

$F(x) = \mathrm{P}(M \leq x).$

إذا خضع $X$ لقانون بنفورد فإن تابع توزيعه يعطي بــ

$(1) \qquad F(x) = \begin{cases} 0 &, x < 1, \\ \log_{10} x &, x \in [1,10), \\ 1 &, x \geq 10. \end{cases}$

2. قانون بنفورد هو قانون الإحتمال الوحيد للجزء العشري الذي لا يتغير بتغيير السلم

يا له من عنوان مذهل! ورغم ذلك فبرهانه ليس أكثر تعقيدا من سابقه. ليكن $X$ متغيرا عشوائيا يمثل الجزء العشري بقيم من المجال $[1,10)$ . نبحث عن تابع توزيعه $F(x)$ ، بفرض أن $X$ لا يتغير بتغيير السلم. إننا بحاجة إلى حساب

$F(x) = \mathrm{P}(X \leq x) = \mathrm{P}(1 \leq X \leq x).$

ينبغي أن نحصل على $F(0) = 0$ و $F(10) = 1$ .

الصعوبة الأساسية في البرهان تكمن في ترجمة ما يعنيه أن يبقى $X$ ثابتا بتغيير السلم. فلما كان $1 \leq X \leq x$ و $c \leq cX \leq cx$ يعبران عن نفس الحدث فإن

$(2) \qquad \mathrm{P}(1 \leq X \leq x) = \mathrm{P}(c \leq cX \leq cx) = F(cx).$

كما فعلنا سابقا، نعتبر الحالة $cx < 10$ ( $c$ متعلق بــ $x$ ). زيادة على ذلك، من أجل $cX$ و $c \leq cX \leq cx$ يساوي جزءه العشري. بما أن $X$ ثابت مهما تغير السلم، فالجزء العشري من $cX$ له نفس تابع توزيع $X$ . إذن

$\mathrm{P}(c \leq cX \leq cx) = F(cx) - F(c).$

بمراعاة (2) نجد أن $F(x)$ تحقق

$(3) \qquad F(x) = F(cx) - F(c), \quad F(1) = 0, \quad F(10) = 1$

شريطة ألا يكون $c \in [1,10)$ كبيرا جدا. علينا إيجاد $F$ انطلاقا من المعادلة التابعية (3). لنر كيف نقوم بهذا. إذا كان $c = 1 + \varepsilon$ ، فإننا نحصل على المساواة

$F(x) = F(x(1+\varepsilon)) - F(1+\varepsilon)$

التي يمكن كتابتها على الشكل

$\frac{F(x(x+\varepsilon)) - F(x)}{x\varepsilon} = \frac{F(1+\varepsilon) - F(1)}{x\varepsilon}$

لأن $F(1) = 0$ . نأخذ النهاية لما $\varepsilon \to 0$ . نحصل كنهاية في الطرفين على مشتق: من اليسار لدينا $\frac{F(x+x\varepsilon) - F(x)}{x\varepsilon}$ حيث النهاية هي $F'(x)$ . ومن اليمين، لدينا $\frac{F(1+\varepsilon) - F(1)}{\varepsilon}$ الذي يؤول نحو $F'(1)$ . بناءً عليه نحصل على المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة التالية

$F'(x) = \frac{F'(1)}{x}$

والتي حلها $F(x) = F'(1) \ln x + C$ . باعتبار أن $F(1) = 0$ نستنتج $C = 0$ ، وبما أن $F(10) = 1$ ، ينتج

$F(x) = \frac{\ln x}{\ln 10} = \log_{10} x, \quad F'(x) = \frac{1}{\ln 10}.$

وبهذا ينتهي البرهان!

3. لماذا الأرقام من كل الأصول تتبع قانون بنفورد؟

هناك جواب قُدم من طرف ثيودور هيل Theodore Hill سنة 1995، الذي سنناقش فكرته بإيجاز. من المؤكد، مجموعات الأعداد لا تتبع كلها قانون بنفورد. مثلا، إذا اعتبرنا طول الإنسان بالمتر، عدا بعض الاستثناءات، فسيكون الرقمان 1 و 2 هما أول رقمين دالين، أما إذا اخترنا أن يكون الطول بالقدم (يساوي القدم تقريبا 30 سم) فإننا سنضطر إلى تغيير قانون توزيع أول رقم دال. إذن مجموعة الأعداد هذه لا تبقى ثابتة بتغيير السلم. من جهة أخرى، إذا اعتبرنا مجموعة أوسع من الأعداد ذات الأصول المختلفة، وقمنا بتغيير السلم، فسيكون لكل واحدة من مجموعاتها الجزئية سلمها الخاص. بما أن المجموعة كبيرة وأعدادها تأتي من جميع الأصول، فإنها تحوي على الأرجح جميع السلالم. بضرب كل عناصر المجموعة في عدد ثابت موجب نحصل على تبديلة من السلالم في المجموعة الجديدة. وهكذا، يمكن، بصفة عامة، اعتبار أن مجموعة الأرقام تتصرف كما لو أنه ليس لديها سلم خاص. فتكون بذلك خاضعة لقانون بنفورد.

هذا التفسير صالح عند اعتبار مجموعات الأعداد الآتية من جميع الأصول. لكنها لا تفسر لماذا تخضع مساحات البلدان وكثافاتها السكانية، أو أطوال الأنهار، لقانون بنفورد. سوف نناقش تفسيرات جد حديثة (2008!) لهذه الحالة، قدمت من طرف غوفريت Gauvrit، وديلاهاي Delahaye وفيوستر Fewester… وهي تفسيرات تبقى سارية المفعول أيضا في مجموعات الأعداد الكبيرة التي تحوي جميع الأصول.

4. مجموعات الأعداد المعروضة وفق ترتيبات عديدة حسب أحجامها مرشحةٌ لاتباع قانون بنفورد!

بموجب عملنا في الأساس 10 استطعنا رؤية أن الأعداد الموجبة $x$ يمكن أن تكتب على الشكل $x = m \cdot 10^n$ ، حيث $m \in [1,10)$ و $n \in \mathbb{Z}$ . يمكننا اعتبار أن $n$ هو درجة كبر العدد، ونقول إن مستويات الكبر تختلف باختلاف قيم $n$ في مجموعة أعدادنا. (لاحظ أن هذه الخاصية ليست متغيرة بتغيير سلم القياس!) لتبسيط هذا التفسير، نفرض أن الأعداد تقع في المجال $[1, 10^6)$ . عندئذ يكون $Y = \log_{10} X$ في $[0, 6)$ . نُذكِّر نتبع نفس الطريقة من أجل الأرقام الأخرى. لنفرض أن عملية أخذ رقم بصفة كيفية من مجموعتنا هو متغير عشوائي $X$ يأخذ قيمه في $[1, 10^6)$ . عندئذ يكون $Y = \log_{10} X$ في $[0, 6)$ .

أن احتمال انتماء متغير عشوائي إلى مجموعة ما يساوي المساحة الواقعة بين منحنى تابع الكثافة وهذه المجموعة. لو كان تابع الكثافة $f$ لــ $Y$ على $[0, 6)$ منتظما كما هو مبين في الشكل 3 (أ) لكُنّا أنهينا التوضيح. لكن، ليس هذا ما يحدث غالبا، كما هو موضح في الشكل 3 (ب).

الشكل 3: المساحات الموافقة لترددات الأرقام الأولى 1، 2، 3 و4 من أجل تابعين مختلفين للكثافة لــ $Y$ . قيم المساحات الموافقة مبينة في الشكل 4 أدناه.

لهذا السبب من المهم جدا أن تكون مجموعة أعداد الانطلاق معروضة على مستويات عديدة من الأحجام. إن الأجزاء المختلفة الموافقة لرقم معين $i$ معطى، معروضة أفقيا على عدة قطع مستقيمة، حيث مجموع أطوالها يكون في نفس رتبة $\log_{10}(1+\frac{1}{i})$ من المجموع الكلي للأطوال. على الرغم من أن ارتفاع $f(x)$ يختلف من قطعة مستقيمة إلى أخرى فإننا نأمل أن يكون متوسط الارتفاع من نفس درجة كبر الأعداد المختلفة. وعندما يحدث هذا، فإن المعطيات ستخضع لقانون بنفورد.

الشكل 4: المساحات الموافقة لتواترات الأرقام الأولى 1، 2، 3 و4 من أجل تابع كثافة الشكل 3 (ب). من الجهة اليمنى يمكن رؤية أن قيمها قريبة من تلك التي تحصلنا عليها من قانون بنفورد في حالة تابع كثافة منتظم لــ $Y$ .

5. كيف يمكن التأكد من أن مجموعة أعداد تخضع لقانون بنفورد؟

إذا قمتم بدراسة الإحصاء، فإنكم على الأغلب تعرفون قانون $\chi^2$ ، هذا الاختبار يُمكِّنكم من التحقق مما إذا كانت بعض المعطيات تتبع قانونا احتماليا معينا. بافتراض أنكم تريدون إجراء الاختبار على مجموعة مكونة من $n$ عددا فأنتم بحاجة لإنشاء جدول بحيث تمثل فيه $n_i$ عدد الأعداد (في مجموعتكم) التي يكون أول رقم دال فيها هو $i$ . من الواضح أن $n = n_1 + \ldots + n_9$ . أما $N_i$ فتمثل عدد الأعداد التي يكون أول رقم دال فيها هو $i$ إذا كانت مجموعتكم تتبع قانون بنفورد. نلاحظ أن $N_i = nB(i)$ .

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$n_i$	$n_1$	$n_2$	$n_3$	$n_4$	$n_5$	$n_6$	$n_7$	$n_8$	$n_9$
$N_i$	$N_1$	$N_2$	$N_3$	$N_4$	$N_5$	$N_6$	$N_7$	$N_8$	$N_9$

الجدول 2: جدول قانون $\chi^2$

ثم تحسبون

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{9} \frac{(n_i - N_i)^2}{N_i}.$

بعدها تنظرون في جدول $\chi^2$ إلى السطر الموافق لدرجة الحرية 8. إذا أردتم إجراء اختبار بــ 5% من الخطأ، فستقبلون بالنتيجة القائلة إن المعطيات تخضع لقانون بنفورد إذا كان $\chi^2 < 15.51$ ، وإلا فلا خضوع لهذا القانون. هذه وصفة سريعة، لكن إن أردتم القيام بهذا الاختبار مع طلابكم، خذوا الوقت الكافي للإطلاع على تفاصيل الاختبار ومعناه.

6. ثبات قانون بنفورد بتغيير الأساس

هذه المسألة يمكن نمذجتها بطريقة مماثلة لحال الثبات بتغيير سلم القياس، لكن الأمر هنا أكثر صعوبة، لأنه لا يمكننا أن نقتصر العمل فقط على الجزء العشري. فإذا كان $x = m \cdot 10^n$ ، فإن الجزء $10^n$ بحاجة أيضا ليُحوّل إلى الأساس الجديد. في الحقيقة، الصعوبة الأساسية تكمن في التعبير الرياضي عما يعنيه استقلال متغير عشوائي عن تغيير الأساس. سوف نتجاوز التفاصيل.

7. خاتمة

قانون بنفورد قانون ساحر: إنه يتجاوز الحدس، وهو أمر يمكنكم اختباره بأنفسكم وتبنيه كنشاط في القسم.

كان الأمر يتعلق بمسألة فضولية لكنها صارت اليوم أداة مرجعية لاكتشاف التزوير، وبطبيعة الحال أصبح المزورون يتعرفون أكثر فأكثر على هذا القانون. لكن انتبهوا: أول رقم دال ليس الشيء الوحيد الذي يجب الانتباه إليه. فقانون بنفورد المعمم يسمح بإيجاد قانون خاص بالرقم الثاني الدال، والثالث الدال، إلخ. يمكنكم محاولة إيجاده بأنفسكم: يكفي إيجاد اتحاد المجالات التي ينبغي أن ينتمي إليها الجزء العشري لعدد حتى يكون رقمه الثاني هو $i$ .

قانون بنفورد Benford: تعلم التزوير أو اكتشاف التزوير؟

Related

اترك ردّاًإلغاء الرد

شارك هذا الموضوع:

Related

اترك ردّاًإلغاء الرد