التناظر خطوةً خطوةً

المؤلفة الأصلية: آن كاناس دا سيلفا Ana Cannas da Silva.
الترجمة: إيمان لكميتي.

التناظر سحر دائم، وقد خدم الجنس البشري في الهندسة المعمارية، والفنون، والهندسة والعلوم. خلال آلاف السنين، استخدمت أنماط التناظر لابتداع أنواع النسيج، والسلال وتزيين الأرضيات، وورق الجدران وورق التغليف، إلخ. وفي نهاية القرن التاسع عشر برهن الرياضي الروسي، والمتخصص في علم المعادن يفغراف فيودوروف Yevgraf Fyodorov أن هناك $17$ نوعا من التناظرات في الأنماط المستوية، انظر المرجع [WPG]. وهكذا يمكننا الحصول بالضبط على $17$ نوعا مختلفا من الورق الجداري من حيث النسخ في التناظر، وليس أكثر. والجدير بالذكر أن كل هذه الأنواع من التناظرات يمكن إيجادها في الفن الزخرفي منذ القِدَم.

لقد تم البرهان على وجود الـ $17$ نوعا بطريقة هندسية باستعمال جمع الكسور والقليل من الطبولوجيا خلال ثمانينيات القرن العشرين. واكتشف هذا التفسير بيل ثورستون Bill Thurston ونشره على نطاق واسع جون هـ كونوي John H. Conway. وكان كونوي قد ابتكر مصطلحات تعبر عن أفكار ثورستون فــصنف مظاهر التناظرات إلى أربعة أنواع: المِشكال kaleidoscope، التَدْويم gyration، المعجزة، الأعجوبة wonder. هذا ما سوف نوجز وصفه في القسم الأول.

انظر تصويب مارستون كوندر Marston Conder في نهاية المقالة.

فضلا عن المصطلحات التي أدخلها كونوي على هذه التناظرات فقد أتى برموز تساعد الذاكرة، وهي: $\ast$ ، أَشْكال، $\bigcirc$ ، $\times$ . وهكذا فكل نوع من التناظرات صار مرتبطا، حسب كونوي وثورستون، بتوقيع رمزي (رموز تحدّد نوع التناظر). والملاحظ أن هذه الرموز تعتبر أكثر وضوحا من الناحية الإعلامية وأكثر جاذبية من تلك المتداولة منذ القديم في مجال البلورات.

سنتناول تصنيف التناظرات على طريقة ثورستون وكونوي في القسم الثاني من هذه المقالة، وذلك باستخدام أدوات حسابية بسيطة. وسنختم مقالتنا في القسم الثالث منها بدراسة تناظر بعض بلاطات الأرصفة البرتغالية وإحدى جَوَاد (ممرات) مدينة ريو دي جانيرو Rio de Janeiro (وسط الشكل 1) والتي ربما تكون أَشهر مثال عالمي.

رصيف في بيليم Belém، كوباكابانا Copacabana، روسيو Rossio — الشكل 1: رصيف في بيليم Belém (لشبونة)/ كوباكابانا Copacabana (ريو دي جانيرو) / روسيو Rossio (لشبونة).

1. مظاهر التناظرات

حالة التناظر المسمى مِشْكَالا تشير إلى وجود تناظر إنعكاسي (محوري)، ولديه رمز النجمة $\ast$ . مثلا، فالكرسي العادي لديه فقط تناظر إنعكاسي بسبب المستوي المنصف. ومن ثمّ فتوقيعه تــناظره هـو $\ast$ . عندما تتقاطع مرايا، كما هو الحال في المِشكال فإننا نشير هنا أيضا إلى عدد المرايا التي تتقاطع في كل نقطة. مثال ذلك: الرصيف الشبكي المعروض في الشكل 2 كما لو تعلق الأمر بورقة شبكية محفوظة بعد إجراء عدة انعكاسات. دعنا نركز على قطاع مثلثي محدود بثلاث مرايا (تُمَن مربع)، وهو ما يسمى بالميدان (أو الشكل) الأساسي. إذا تخيلنا أنفسنا داخل هذا المثلث الأساسي محاطين بهذه المرايا الثلاث، يمكننا رؤية كل الرصيف يعيد نفسه لانهائيًا. عندما نريد تمييز هذه التناظرات يجب أن نحدد زوايا هذا المثلث، أو بالأحرى، تحديد عدد المرايا المتقاطعة في كل رأس. هناك أربع مرايا تتقاطع في منتصف مربع، وأربع مرايا متقاطعة في كل رأس، ومرآتان تتقاطعان في منتصف كل ضلع. ولذلك فتوقيع هذا التناظر هو $\ast 4\,4\,2$ .

رصيف في شارع غاريت بلشبونة (سيادو Chiado) بتوقيع *442 — الشكل 2: رصيف في شارع غاريت بلشبونة (سيادو Chiado) بتوقيع $\ast 4\,4\,2$ .

تناظر “التدويم” ليس تناظرا إنعكاسيا (محوريا) بل يتميَّز (بالحد الأدنى الموجب) لزاويــة دوران تمثــل جزءًا من $360$ درجة. فعلى سبيل المثال، الرصيف في الشكل 3 محفوظ بالدوران. فأي مركز لدورانه يعادل واحدة من الثلاثة مراكز الموضحة في الـشكل، والمعرفـة بزوايــاه: $\dfrac{360}{4}$ ، و $\dfrac{360}{4}$ ، و $\dfrac{360}{2}$ . والتوقيع الموافق لها يتألف من مقامات الكسور: $4\,4\,2$ .

رصيف في ساحة رستورادورس بلشبونة، بتوقيع 442 — الشكل 3: رصيف في ساحة رستورادورس Restauradores بلشبونة، بتوقيع $4\,4\,2$ .

التناظر المسمى “المعجزة” يُعَبَّر عنه بواسطة رمز الضرب $\times$ ، ويظهر عندما لا يقطع المسار المنطلق من النموذج إلى صورته أية مرآة.

الشكل 4: رصيف من أربعة ألوان قرب موستيرو دوس جيرونيموس Mosteiro dos Jeronimos بلشبونة، توقيعه هو $\times \times$ .

التناظر المسمى “الأعجوبة” والذي نرمز إليه بـ $\bigcirc$ يظهر عندما لا يبرز النمط أيًا من الأنواع السابقة الذكر. مثال ذلك: الرصيف المعروض في الشكل 5 صُمِّم بالتكرار الأفقي والعمودي للنمط المستخرج من رصيف ساحة رستورادورس، فهو لا يبدي أي مظهر من المظاهر السابقة. ومن ثمّ فتوقيعه هو $\bigcirc$ .

الشكل 5: رصيف من نسج الخيال، توقيعه هو $\bigcirc$ .

2. الأنماط في المستوي

يمكن للاقتباس أن يساعدنا في إيجاد الـ $17$ نمطا معبرين عنها بواسطة التوقيعات. لنتخيَّل مطعم “التناظر” يعرض قائمة الطعام التالية:

طبق اليوم	الثمن	الدمج (2، 3، 4، …)
$\bigcirc$	$2$	—
$\ast$	$1$	—
عدد $N$	$\dfrac{N-1}{N}$	$\dfrac{N-1}{2N}$
$\times$	$1$	—

علما أن المطعم يوفِّر تخفيضا $50\%$ (الدمج) عندما تعرض على يمين العلامة $\ast$ . مثال ذلك، $3$ بســعر $\dfrac{2}{3}$ يورو بينما الدمج $\ast 3$ يكلف فقط $\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3}$ يورو.

دعنا نتصور أن في الأوقات الصعبة تكون ميزانية وجبة الغداء $2$ يورو لا أكثر. ماذا يمكن أن نأخذ في وجبة بصرف كل الميزانية؟ فالخيار $\ast 4\,4\,2$ مثلا يكلف $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} + 1 = 2$ يورو، وكذا الخيار $\times \times$ حيث أن $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 = 2$ .

النظرية السحرية للمستويات: أنواع ألأنماط في المستويات تكافئ توقيفات الرموز التي تكلفتها الإجمالية تساوي بالضبط $2$ .

ما هي أنواع الأنماط ومن أين أتت النظرية السحرية؟

باستخدام النظرية السحرية فإن الإجابة عن السؤال الأول ستكون بمثابة تمرين. والملاحظ أنه في غياب النجوم “ $\ast$ ” فإن كل رقم يُقَدَّر على الأقل بنصف، وذلك الرقم هو دوما أقل من $1$ . وبالتالي فالقائمـــة الأولـى للتوقيعات بدون نجوم هي:

$6\,3\,2,\ 4\,4\,2,\ 3\,3\,3,\ 2\,2\,2\,2,\ \times \times,\ 2\,2 \times,\ \bigcirc.$

في الواقع، بافتراض أن $a$ ، $b$ ، $c$ ، $\ldots$ تمثل أرقاما فإن الدمج $a\,b\ldots c \ast$ يُقَدَّر بـ $2$ عندما تُقَدَّر $a\,b\ldots c$ بـ $2$ . ومن ثمّ فالقائمة السابقة هي بمثابة أصل قائمة التوقيعات المرتبطة بها والتي تبدأ بـ $\ast$ :

$6\,3\,2 \ast,\ 4\,4\,2 \ast,\ 3\,3\,3 \ast,\ 2\,2\,2\,2 \ast,\ \ast \times,\ \ast \ast.$

إذا تمكنتم من جمع كسور فباستطاعتكم الحصول على قائمة بتوقيعات مختلطة:

$4 \ast 2,\ 3 \ast 3,\ 2 \ast 2\,2,\ 2\,2 \ast.$

وهكذا اكتشفنا أنه يوجد على الأكثر $17$ نوعا من هذه الأنماط.

وفيما يخص السؤال الثاني نحيل القارئ إلى نص المرجع [NOS] من أجل اكتـشاف أصــل النظريــة السحرية. يحتوي الكتاب [CBG] على تحليل أوفى وعلى صور توضيحية رائعة. كما يشرح هذا الكتاب في أية فضاءات توجد الأنماط التي تُقَدَّر بأقل من $2$ ، وتلك التي تكلَّف أكثر من $2$ .

3. رياضيات البلاطة

لقد صُمِّمَ التبليط الحجري البرتغالي خلال القرن $19$ كمبادرة لإبقاء السجناء في قلعة ساو جــورج Sao Jorge مشغولين. ومنذ ذلك الوقت أصبح هذا الفن بمثابة إبداع بالنسبة لمدينة لشبونة، وهو أسلوب التبليط الأكثر استعمالا في الأرصفة في المناطق التاريخية البرتغالية.

نمط أمواج البحر المفتوح — الشكل 6: نمط “أمواج البحر المفتوح” (ondas do mar largo)، توقيعه $2\,2 \ast$ .

كان أَشهر نمطًا، وهو المسمى ondas do mar largo (أي تقريبا “أمواج البحر المفتوح”)، قد استعمل عام $1849$ في ساحة الملك بيدرو Pedro الرابع البرتغالية، المعروفة أكثر باسم ساحة روسيو ROSSIO. ثم صُــدِّر إلى كوباكابانا Capacabana (البرازيل) في عام $1906$ فعرف هناك نجاحا كبيرا. انظر الشكل 1. والطريف أن ملك البرتغال بيدرو الرابع كان أول إمبراطور للبرازيل، وحمل هناك لقب بيدرو الأول.

يمكننا في “أمواج البحر المفتوح” إيجاد مرآتين متكافئتين ونوعين (أبيض وأسود) من التدويمات حيـث تكون المسافة بين الأمواج أقصر مسافة ممكنة. لذلك فالتوقيع هو $\ast 2\,2$ . انظر الشكل 6.

هل يمكننا إيجاد كل أنواع التناظرات في الأرصفة البرتغالية؟

هناك دراسة أطلقت في لشبونة تبحث في أنواع التناظرات المقدمة في التبليطات الحجريــة البرتغاليــة وتسعى إلى استكمال القائمة. وهكذا عثر على النوع $2 \ast 4$ في مدينة غويمارايس Guimaraes. أمــا الأنمــاط التالية فلم يعثر لها بعدُ على أثر:

$6\,3\,2,\ \ast 3\,3\,3,\ 3 \ast 3,\ \ast \times,\ 2\,2 \times,\ \bigcirc.$

في الوقت الذي نجد النوع $\bigcirc$ ممثلا في الشكل 5، نلاحظ أن أربعة أنواع لا زالت تنتظرنا للتعرف على تفاصيلها، وهي الخاصة بأنماط الشكل 7. ثمة المزيد من الأمثلة يمكن الاطلاع عليها في المرجع [PEF].

الشكل 7: تفاصيل إسفنجة، صورة مِشكال، طاولة، سلة. وهي توضح أنواع التناظرات $2\,2 \times$ ، $3\,3\,3$ ، $\ast 3\,3\,3$ ، $6\,3\,2$ على التوالي.

نحن نشجِّع القارئ على إيجاد مثل هذه التناظرات في أرصفة حيِّه.
الكاتب يشكر إسهامات الرسائل الإلكترونية التي وصلت من مختلف أنحاء العالم.

4. المراجع

[CBG] Conway, J. H., H. Burgiel, C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A K Peters, 2008.

[NOS] Cannas da Silva, A., Um Novo Olhar Sobre Simetria, http://www.math.ethz.ch/~acannas/Outreach.

[PEF] Padroes em Falta, http://www.math.ethz.ch/~acannas/Outreach.

[SPP] Simetria Passo a Passo – Matemática nas Calçadas de Lisboa, http://www.math.ist.utl.pt/simetria.

[WPG] Wallpaper Group, http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group.

Department of Mathematics, ETH Zurich, 8092 Zurich Switzerland e Departamento de Matematica, Instituto Superior Tecnico, 1049-001 Lisboa, Portugal.

عمل مدعوم جزئيا من قبل مؤسسة العلم والتكنولوجيا FCT (البرتغال) ومؤسسة غولبنكيان Gulbenkian (البرتغال) و جواو فيراند Joao Ferrand (صور لشبونة)، و درور بار-ناتان Dror Bar-Natan (صور الشكل 7).

تصويب (بقلم كارستون كوندر Marston Conder، جامعة أوكلاند Auckland، نيوزيلاندا):

إن أول من أنجز/اكتشف هذه الشروحات لم يكن ثورستون أو كونوي، بل كان موراي ماكبيث (A.M. Macbeath)، وحدث ذلك قبل $20$ سنة تقريبا، ضمن عمله حول الزمر البلورية crystallographic groups (في سياق أعمق). وقد “أعيد اكتشاف” ملاحظاته من قبل عدد من الأشخاص، من بينهم ثورستون. غير أن ماكبيث له السبق في تقديم الشرح الذي كان جزئيا شرحا جبريا. وقام كونوي بنشره وطوَّر ترميزا جديدا له.

التناظر خطوةً خطوةً

1. مظاهر التناظرات

2. الأنماط في المستوي

3. رياضيات البلاطة

4. المراجع

Related

اترك ردّاًإلغاء الرد

1. مظاهر التناظرات

2. الأنماط في المستوي

3. رياضيات البلاطة

4. المراجع

شارك هذا الموضوع:

Related

اترك ردّاًإلغاء الرد