រឿងនិទាននៃត្រីកោណពីរ: ត្រីកោណមេនិចនិងខ្សែកោងអេលីបិត

ប្រសិនបើត្រីកោណពីរមានផ្ទៃក្រឡាដូចគ្នា និងបរិមាត្រដូចគ្នា តើត្រីកោណទាំងពីរនេះចាំបាច់ត្រូវតែដូចគ្នាឬ? ប្រាសមកវិញគឺវាមិនដូចគ្នាទេ។

ឧទាហរហ៍: ត្រីកោណដែលមានជ្រុង 3, 4 និង 5 មានផ្ទៃក្រឡា និង បរិមាត្រដូចគ្នានិងត្រីកោណដែលមានជ្រុង \frac{41}{15},\frac{101}{21} និង \frac{156}{35}។ ត្រីកោណទាំងពីរនេះមានបរិមាត្រ 12 គឺ៖

3+4+5=12 និង \frac{41}{15}+\frac{101}{21}+\frac{156}{35}=\frac{287+505+468}{105}=\frac{1260}{105}=12

គេអាចសន្និដ្ឋានបានថា ត្រីកោណទាំងពីរនេះក៏មានក្រឡាផ្ទៃដូចគ្នាដែរ។ ត្រីកោណកែងដែលមានក្រឡាផ្ទៃ \frac{1}{2}4\cdot 3=6។ ដើម្បីរកក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណផ្សេងទៀត យើងត្រូវប្រើរូបមន្ត Heron ដែលតាងដោយ A ជាក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a,b និង c ឱ្យដោយរូបមន្ត៖

    \[\begin{aligned} A &= \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned}\]

ដែល s=\frac{1}{2}(a+b+c) គឺជាកន្លះបរិមាត្រនៃត្រីកោណ។ តាមរយៈរូបមន្តនេះបង្ហាញឱ្យយើងឃើញក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណទីពីរក៏ស្មើ 6 ដែរ។

លំហត្រីកោណ

តើយើងអាចរកឧទាហរណ៍លំហត្រីកោណបានដោយរបៀបណា? ដើម្បីរកឧទាហរណ៍បែបនេះ យើងមានមធ្យោបាយដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ គឺការតាងលំហត្រីកោណទាំងអស់។ មានច្រើនរបៀបដែលយើងអាចអនុវត្តលើឧទាហរណ៍នេះបាន។ របៀបទីមួយ គឺតាងត្រីកោណដែលមានជ្រុងបី (a,b,c) ដែលប្រវែងជ្រុងទាំងបីរបស់វាគឺទៅតាមលំដាប់លំដោយ។ តាមរបៀបនេះ យើងតាងត្រីកោណមួយដោយចំនុចបីនៅក្នុងលំហ។ ហើយយើងត្រូវចងចាំថា គ្រប់ចំណុចទាំងអស់ត្រូវស្របទៅនឹងត្រីកោណ។

ឧទាហរណ៍: គ្រប់កូអរដោនេទាំងអស់ត្រូវតែវិជ្ជមាន។ តើអ្នកគិតថាមានការកំណត់ផ្សេងទៀតដែរឬទេ? មានច្រើនរបៀបផ្សេងទៀតក្នុងការដៅកូអរដោនេនៅលើលំហត្រីកោណដោយប្រើមុំជំនួសឱ្យប្រវែងរបស់វាវិញ ។ គ្រប់ត្រីកោណដែលមានរង្វង់ចារឹកក្នុងហើយមាន r ជាកាំនៃរង្វង់ដែលមាទំនាក់ទំនងជាមួយនឹងក្រឡាផ្ទៃ A និងកន្លះបរិមាត្រ s គឺ A=rs។

ដើម្បីបង្ហាញថា A=rs ពិត យើងត្រូវគូសបន្ទាត់ដែលចេញពីផ្ចិតនៃរង្វង់ ហើយកែងទៅនឹងជ្រុងនៃត្រីកោណ ដូចដ្យាក្រាមខាងឆ្វេងក្នុងរូបភាពទី 2។ ដែលចំណោលកែងទាំងនោះគឺជាកម្ពស់នៃត្រីកោណតូចៗបីដែលមានបាតគឺជាជ្រុងនៃត្រីកោណធំ និងមានកំពូលជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណ។ បូកក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណទាំងនោះ យើងទទួលបាន A=rs ។

រូបភាពទី 2
រូបភាពទី 2: លំហត្រីកោណប៉ារ៉ាម៉ែត

សមីការ A=rs នេះបង្ហាញអោយយើងឃើញថា ប្រសិនបើ ត្រីកោណពីរមានក្រឡាផ្ទៃដូចគ្នា និងកន្លះបរិមាត្រដូចគ្នានោះកាំ r នៃរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណក៏ដូចគ្នាដែរ។ ដូច្នេះ បើយើងក្រឡេកមើលត្រីកោណទាំងពីរ យើងនឹងអាចរកបានត្រីកោណមួយក្នុងចំណោមត្រីកោណទាំងអស់ ដែលនៅជុំវិញរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណ ដែលស្ថិតនៅចម្ងាយស្មើៗគ្នានៃរង្វង់។ យើងនឹងប្រើប្រាស់មុំដែលផ្ដុំដោយកាំទាំងបីនៃរង្វង់ជំនួសអោយការប្រើប្រាស់ប្រវែង ដើម្បីពិពណ៌នាពីត្រីកោណទាំងនោះ ដូចដ្យាក្រាមខាងស្តាំក្នុងរូបភាពទី 2។

ត្រីកោណប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមានក្រឡាផ្ទៃ និងបរិមាត្រថេរ

ក្នុងលំហត្រីកោណ យើងអាចរកខ្សែកោងដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងគ្រួសារនៃត្រីកោណដែលមានតម្លៃដូចគ្នាទៅនិងក្រឡាផ្ទៃ A និងកន្លះបរិមាត្រ s។

ជំហានទី 1 យើងបង្ហាថា s គឺជាអនុគមន៍នៃមុំ \alpha,\beta និង \gamma ហើយ r ជាកាំនៃរង្វង់។ កាំ និងបន្ទាត់ដែលគូសចេញពីកំពូលទៅនឹងផ្ចិតនៃរង្វង់បានចែកត្រីកោណជា 6 ត្រីកោណកែង។ ព្រោះបន្ទាត់ដែលគូសចេញពីកំពូលទៅផ្ចិតនៃរង្វង់ គឺជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំនៃត្រីកោណធំដែលត្រីកោណកែងទាំងនេះ គឺជាត្រីកោណដូចគ្នាពីរៗ។ យកប្រវែងបាតមួយៗចេញពីគូនៃត្រីកោណនីមួយៗ ហើយបូកបញ្ចូលគ្នា យើងបាន៖

    \[s=r\left(\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\gamma}{2}\right)\]

សមីការ s=r\left(\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\gamma}{2}\right) និងសមីការ A=rs ទាំងពីរនេះបង្ហាញអោយយើងឃើញថា ប្រសិនបើ ក្រឡាផ្ទៃ A និងកន្លះបរិមាត្រ s គឺជាចំនួនថេរ នោះគេបានផលបូកនៃតង់សង់គឺ

    \[\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\gamma}{2}=\frac{s^2}{A}\qquad (1)\]

ជំហានទី 2 យើងបកស្រាយលក្ខខណ្ឌនេះនៅក្នុងនិយមន័យនៃសមីការខ្សែកោងនៅក្នុងប្លង់។ តាង x=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right), y=\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) និង z=\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) ដែល \alpha+\beta+\gamma=2\pi យើងបាន៖

    \[\frac{\gamma}{2}=\pi-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}\]

ដូច្នេះ z=\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)=\tan\left(\pi-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}\right)=-\tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=-\frac{x+y}{1-xy}

ដូចនេះ ប្រសិនបើ k គឺជាចំនួនថេរ \frac{s^2}{A} សមីការ (1) ក្លាយជាសមីការកំណត់ដោយ k

    \[x+y-\frac{x+y}{1-xy}=k\qquad (2)\]

ដែលយើងអាចសរសេរបានជា

    \[x^2y+xy^2=kxy-k\qquad (3)\]

គ្រប់ត្រីកោណដែលមានក្រឡាផ្ទៃ A និងកន្លះបិរមាត្រ s កំនត់ដោយចំណុចនៅលើខ្សែកោង ហើយគ្រប់ចំណុចនៅលើខ្សែកោង គឺជាតំបន់ពិតប្រាកដនៃប្លង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងត្រីកោណ។ តំបន់ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងត្រីកោណដែលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងរូបភាពទី 2 ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយមុំ \alpha+\beta+\gamma=2\pi ដែល 0< \alpha,\beta,\gamma< \pi ដែលត្រូគ្នាទៅនឹងតំបន់ x>0, y>0 និង xy>1 ព្រោះ (z>0) ក្នុងរូបភាពទី 3 បង្ហាញពីខ្សែកោង x^2y+xy^2=kxy-k \ \text{if}\ k=6 ដែលមានតម្លៃត្រូវគ្នាទៅនឹងត្រីកោណដែលមានជ្រុង 3, 4 និង 5។ គ្រប់ចំណុចដែលផ្សំគ្នានៅលើខ្សែកោង គឺជាការវិជ្ជមាន ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងត្រីកោណ ដែលប្រវែងជ្រុងនៃត្រីកោណគឺ៖

a=x+y,\ b=y+z និង c=z+x

ជាពិសេស ចំណុច (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3) និង (3,1) ត្រូវគ្នាទៅនឹងត្រីកោណដែលមានជ្រុង 3, 4 និង 5 ដែលជ្រុងនីមួយៗបង្កើតបានគូកូអរដោនេផ្សេងៗគ្នា។

រូបភាពទី 3
រូបភាពទី 3: ខ្សែកោងត្រីកោណប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមានបរិមាត្រ 12 និងក្រឡាផ្ទៃ 6

ការស្វែងរកចំនុចនៅលើខ្សែកោង

ដោយខ្សែកោងក្នុងរូបភាពទី3 គឺត្រូវបានរកដោយប្រើសមីការដឺក្រេទី 3 យើងអាចរកចំណុចនៅលើវាដោយប្រើវីធីតង់សង់ និង Secants។ ចំណុចពីរនៅលើខ្សែកោងកំនត់ Secants ដែលកាត់ខ្សែកោងច្រើនជាងមួយ រកគ្រប់ចំនុចដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឹក្រេទី 3 អញ្ញាត x។ ដែលឬសពីរទៀតរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ដែលយើងមាន 6 ចំណុចនៅលើខ្សែកោងរួចមកហើយ មានមធ្យោបាយជាច្រើនដែលអាចកើតមានសំរាប់ Secants។ បើយើងបង្កើតចំណុចកាន់តែច្រើនធ្វើអោយយើងមានធ្យោបាយកាន់តែច្រើន។ ជាការពិតណាស់ខ្សែកោងដែលមានចំនុចច្រើនរាប់មិនអស់ដែលមានកូអរដោនេជាចំនួនសនិទាន។ ទំរង់ទី 2 នៃ Secants បានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 3 ដោយចំនុច (54/35, 25/21) ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងត្រីកោណដែលមានជ្រុង41/15, 101/21 និង 156/35។

ទំរង់ Secants អនុវត្តន៍ចំពោះសមីការខ្សែកោងដឺក្រេទី 3 ផ្សេងទៀតនៅក្នុងប្លង់ ដែលខ្សែកោងនោះត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអេលីប (មិនថាខ្សែកោងគឺជាអេលីបខ្លួនឯងនោះទេ ប៉ុន្តែពួកវាកើតមានឡើងនៅពេលដែលយើងធ្វើការសិក្សាស៊ីជម្រៅទៅលើអនុគមន៍កុំផ្លិច ដែលយើងហៅថា អនុគមន៍អេលីប)។ ទម្រង់ Secants ខាងក្រោម គឺជាវិធីមួយដើម្បីរកក្រុមមួយនៃទម្រង់នៅលើសំណុំនៃចំណុចសនិទាននៅលើខ្សែកោងអេលីបមួយ (នោះគឺជាចំណុចដែលមានកូអរដោនេជាសំណុំចំនូនសនិទាន)។

ការសិក្សាលើខ្សែកោងនៃអេលីប គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះមួយនៃការស្រាវជ្រាវទ្រឹស្តីចំនូន។ ដែលគេអនុវត្តន៍នៅក្នុងគ្រោងការ Cryptographic និងការពារសុវត្ថិភាពហិរញ្ញវត្ថុនៅក្នុងគេហទំព័រ។ ខ្សែកោងអេលីបដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយទ្រឹស្តីបទ Fermat’s Last។

រឿងរ៉ាវដែលបានពិពណ៏នានៅក្នុងអត្ថបទនេះ បង្ហាញពីភាពអស្ចារ្យនៃគណិតវិទ្យាដែលវាចាប់ផ្ដើមធ្វើការស្រាវជ្រាវ និងបញ្ចប់នៅថ្នាក់វិទ្យាល័យ។ អស់រយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំមកហើយដែលយើងបានបញ្ចូលគំនិតសំខាន់ៗនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទំនើប ដូចជាគំនិតនៃការដោះស្រាយបញ្ហាអំពីផ្នែកពិសេសនៃត្រីកោណ (ជាឧទាហរណ៍៖ ត្រីកោណដែលមានក្រឡាផ្ទៃ 6 និងបរិមាត្រ 12) ជាទូទៅត្រីកោណស្ថិតនៅក្នុងលំហ (លំហត្រីកោណទាំងអស់) ហើយនិងការស្វែងរកមធ្យោបាយត្រឹមត្រូវមួយនៃត្រីកោណប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

រឿងនិទាននៃត្រីកោណពីរ: ត្រីកោណមេនិចនិងខ្សែកោងអេលីបិត (PDF)

Leave a Reply

អាសយដ្ឋាន​អ៊ីមែល​របស់​អ្នក​នឹង​មិន​ត្រូវ​ផ្សាយ​ទេ។ វាល​ដែល​ត្រូវ​ការ​ត្រូវ​បាន​គូស *