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Der Satz vom Igel

Publié le février 18, 2025 par admin

Autor:/ João Pimentel Nunes

Übersetzt von Anna Muff (Universität Würzburg)

Der Satz vom Igel (The Hairy Ball Theorem) ist ein Satz aus der Topologie, dem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Form von Räumen befasst. Im Wesentlichen hat Henri Poincaré, der als einer der Begründer der Topologie angesehen wird, dieses Ergebnis am Ende des 19. Jahrhunderts gefunden [1].

Es gibt einige mathematische Resultate, die uns aus Alltagssituationen bekannt sind: So werden viele von uns jeden Morgen mit dem Satz vom Igel konfrontiert, wenn sie versuchen ihre Haare zu kämmen und dabei einen hartnäckigen Wirbel auf ihrem Kopf vorfinden. Um es einfach auszudrücken besagt der Satz vom Igel, dass es unmöglich ist eine behaarte sphärische Kugel so zu kämmen, dass keine Wirbel entstehen.

Dieses Video erklärt den Satz auf wirklich nette Weise.
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A Regular Heptadecagon is Constructible

Publié le octobre 28, 2024 par IMU Assistant

Moti Ben-Ari

For centuries people learned mathematics by studying Euclid’s Elements. A focus of the Elements is on the construction of geometric figures using a straightedge (a ruler with no markings) and a compass. The Elements gives constructions of regular polygons with n = 3, 4, 5, 15 sides (and some polygons with powers of 2 times those numbers), but not until two thousand years later was the construction of another regular polygon discovered. In 1796 Carl Friedrich Gauss awoke one morning just before his 19th birthday, and by “concentrated thought” discovered that a regular heptadecagon (a regular polygon with 17 sides) is constructible. The ideas of Gauss, who showed the constructability of regular polygons without giving any geometric construction, have been essential for the birth of fields of modern mathematics like algebraic geometry and algebraic topology. This article highlights important steps in this fascinating history. Mordechai (Moti) Ben-Ari is Prof. (Emeritus) at the Weizmann Institute of Science and the author of the book “Mathematical Surprises”, Springer. https://www.weizmann.ac.il/sci-tea/benari/ Here is a entrelacs to the pdf of the article.

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ARTS ET MATHÉMATIQUES: NŒUDS ET ENTRELACS

Publié le mars 11, 2022 par admin

CHRISTIAN MERCAT ET MICHÈLE ARTIGUE

Les frises et pavages accompagnent fréquemment l’enseignement des isométries. Les objets que nous allons considérer dans cette vignette, comme celui ci-dessous, n’en semblent pas éloignés. Cependant, leur compréhension fait intervenir d’autres mathématiques, la topologie et la théorie des graphes, des branches des mathématiques d’apparition plus récente que la géométrie. Ils constituent un sujet fabuleux pour faire sentir et éprouver la puissance des mathématiques, sa délicatesse et sa rigueur.

Figure 1. Une tresse à quatre brins formant une frise.

Les entrelacs ont été utilisés dans de nombreuses civilisations comme outils et ornements, des entrelacs épiques celtiques aux enluminures perses du Coran (Figure 2).

FIGURE 2. L’anneau de Derrynaflan, du VIIIè, ©National Museum of Ireland, Dublin et une page-tapis à la fin d’un Coran enluminé du XIVè, Espagne, BnF.

Ils apparaissent dans la vie des pêcheurs et des vanniers, et de tout un chacun quand on lace ses chaussures ou tresse des cheveux. Ils sont d’une extrême diversité et les mathématiques peuvent aider à ordonner cette diversité, en s’interrogeant sur ce qui rapproche ou différencie ces formes. Cette étude fait partie de la topologie et notamment sa branche qu’est la théorie des nœuds.

1. LA THÉORIE DES NŒUDS

Un nœud est défini mathématiquement comme un plongement du cercle dans l’espace. Pratiquement, imaginons un bout de ficelle que l’on entortille plus ou moins sans le couper, puis dont on renoue les deux extrémités. Un entrelacs, lui, est un assemblage de plusieurs nœuds, de plusieurs bouts de ficelle fermés. L’illustration du début de cette vignette, au contraire, entrelace des rubans ouverts, qui se déploient dans une direction, c’est une tresse. La théorie des nœuds a commencé à se développer dans la deuxième moitié du 19e siècle et sa source n’est pas à proprement parler mathématique. Les physiciens William THOMSON, plus connu comme Lord KELVIN, et Peter Guthrie TAIT qui ont été parmi les premiers à y contribuer, pensaient qu’elle les aiderait à comprendre les phénomènes d’absorption et d’émission de lumière par les atomes. Et c’est ainsi que TAIT a entrepris une classification des nœuds (Figure 3).

FIGURE 3. Extrait de la classification des nœuds de TAIT

Reconnaître que deux nœuds sont dans la même classe, c’est-à-dire que l’on peut passer de l’un à l’autre par une déformation continue (que l’on appelle en mathématiques une isotopie, représentant une classe d’homologie), comme lorsque l’on essaie de démêler une ficelle nouée à ses extrémités sans la dénouer, ni la couper, n’est pas si évident, comme le montrent ces différentes images d’un même nœud de trèfle (Figure 4), qui est le nœud le plus simple qui ne soit pas trivial (c’est à dire qui ne puisse pas se réduire à un cercle).

C’est pourquoi la théorie des nœuds cherche à associer aux nœuds des quantités que ces déformations continues ne modifient pas : des invariants. Par exemple, le polynôme d’ALEXANDER est un invariant qui associe un polynôme à coefficients entiers à chaque type de nœud. Il a été découvert par James Wadell ALEXANDER en 1923 et est le premier invariant de ce type. Le polynôme d’ALEXANDER du nœud de trèfle, par exemple, est : $t^2 - t + 1$ . Nous reviendrons ensuite à cette question des invariants mais apprenons tout d’abord à tracer des entrelacs. Pour cela, nous allons les modéliser par des graphes.

2. ENTRELACS ET GRAPHES

Un entrelacs (ou une tresse si elle est ouverte) est un nœud à plusieurs composantes. On le représente en général par sa projection régulière dans un plan, c’est-à-dire que les brins sont dessinés se croisant transversalement et au plus deux à deux : il n’y a pas trois points du nœud qui sont projetés sur le même point du plan, les brins aux croisements ont des directions projetées différentes et les croisements sont en nombre fini. Décrire l’objet qui résulte de ces différents croisements et sa structure n’a rien d’évident.

On va pour cela en construire un modèle abstrait, en négligeant un certain nombre de paramètres comme la couleur des brins et leur épaisseur. Ce sera un graphe planaire : avec des sommets reliés par des arêtes, pas forcément rectilignes, qui ne se croisent pas et on les étiquettera d’une chiralité gauche / droite. Une projection régulière d’un entrelacs sur le plan partitionne celui-ci en zones, délimitées par la projection de l’entrelacs lui-même. Là où il y a des croisements, localement quatre zones se rencontrent. On peut, d’après le théorème de JORDAN,¹ colorier toutes les zones de deux couleurs, disons noir et blanc, de telle manière que ces croisements ressemblent à un échiquier (deux zones opposées ont même couleur et deux zones contiguës ont une couleur différente).

Il suffit pour cela de décider que la zone extérieure infinie est blanche, de choisir un point dedans et de relier chaque zone par un chemin qui croise transversalement la projection de l’entrelacs et évite les croisements (Figure 5).

À chaque passage par un brin, on change de couleur. On démontre que le résultat ne dépend pas du point de départ choisi, ni du détail du trajet suivi et que l’on aboutit toujours à un coloriage cohérent. Le coloriage en effet ne dépend que de la parité du nombre de brins traversés. On associe alors un sommet à chaque zone noire et on les relie par des arêtes, tirées au-dessus de chaque croisement, d’une zone noire à son opposée. Nous attachons alors l’étiquette correspondante pour coder si c’est le brin droit ou le brin gauche qui, vu d’un sommet, passe au-dessus. Le codage est cohérent, la zone opposée donnant la même chiralité (Figure 6).

FIGURE 7. Le trèfle et ses deux graphes duaux.

Le nœud de trèfle est ainsi associé à un triangle où toutes les arêtes ont même chiralité, disons gauche : c’est un entrelacs alterné, quand on suit un brin, il croise alternativement au-dessus, en-dessous, au-dessus. . . Mais ce n’est pas le seul graphe qui code ce nœud, il y a également le graphe à deux sommets et trois arêtes non pas droites mais courbes et étiquetées droite ! (Figure 7), qui est obtenu en positionnant les sommets dans les zones blanches.

Ces deux graphes sont ce que l’on appelle des graphes duaux. Ce codage par un graphe planaire permet de coder complètement l’entrelacs et il est beaucoup plus simple à décrire. La tresse compliquée est en fait codée par un graphe qu’on peut expliquer en une phrase, par exemple, «une échelle triangulaire à laquelle on enlève un barreau sur trois» (Figure 8).

FIGURE 8. Le graphe de la tresse, une échelle triangulaire à laquelle manque un barreau sur trois.

Ces graphes sont évocateurs et le mathématicien Alexandre GROTHENDIECK a nommé dessins d’enfants une grande classe de graphes (localement) planaires. Après cette phase d’analyse, procédons maintenant à la synthèse : dessiner l’entrelacs codé par un graphe. Ceci s’effectue en trois étapes présentées de la droite vers la gauche sur la Figure 8 :

Dessiner une croix au milieu de chaque arête. Tout croisement est au milieu d’une arête.
Relier les brins les uns aux autres en un trajet continu.
Faire figurer les dessus-dessous.

Dans le détail, une croix se dessine au crayon, inclinée entre 30 et 60° avec l’arête. Cette orientation est importante pour l’étape suivante car on continue chaque petit brin en longeant l’arête dans la direction où il pointe, on arrive ainsi au croisement suivant et on se raccorde au brin qui pointe dans cette direction. À cette étape, on n’introduit pas de nouveau croisement et les brins ne traversent les arêtes qu’aux croisements. Une métaphore est utile : imaginer les arêtes comme les murs d’un labyrinthe, qu’on suit et qu’on ne peut pas franchir, sauf aux croisements, figurant une porte (Figure 9).

FIGURE 9. La métaphore du labyrinthe: les arêtes sont des murs, les croisements des portes.

Enfin, en choisissant un croisement, en alignant l’arête qui le porte avec son regard, on identifie lequel des deux brins provient de la droite et lequel provient de la gauche, ce qui permet de remplacer le croisement par un «pont» avec un brin (disons le gauche) passant au-dessus et l’autre (le droit) en-dessous. Nous vous invitons maintenant, avant de lire la suite, à élaborer un petit graphe, de 5 ou 6 arêtes, toutes de longueurs comparables, des angles ni trop aigus ni trop obtus, et élaborer le nœud qu’il code, il suffit pour cela de jouer avec les graphes planaires. La vidéo http://video.math.cnrs.fr/entrelacs/, les exemples dans [4, 5] peuvent vous donner des idées.

3. INVARIANTS

Le premier à s’être intéressé sérieusement aux invariants est le jeune Carl Friedrich GAUSS au début du XIXe siècle, décrivant l’enlacement de deux courbes, γ1,γ2, dans l’espace, calculé comme une intégrale impressionnante mais dont la valeur est toujours un entier relatif :

$\frac1{4\pi}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\vec{r_1}-\vec{r_2}}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}\cdot({d\vec{r_1}\times d\vec{r_2}})$

Ce nombre ne se calcule pas ici à partir de la projection de l’entrelacs mais reste le même quand on déforme les courbes sans qu’elles se croisent. Cela paraît compréhensible si on est persuadé que le résultat est un entier : la formule dépend continument de chaque courbe et ne peut sauter d’une unité que quand il y a un grave problème : quand le dénominateur s’annule, c’est-à-dire quand les deux courbes se croisent. Mais on peut beaucoup plus facilement le calculer à partir de la projection, en orientant les brins et en sommant simplement des signes pour chaque croisement entre les deux courbes : +1 pour et -1 pour . Quand il n’y a qu’une seule courbe, cette somme combinatoire définit un nombre, qu’on appelle l’entortillement (writhe en anglais) $w(K)$ de la projection du nœud $K$ . Le nœud de trèfle droit a ainsi un entortillement de +3. Mais que devient $w(K)$ quand de menus incidents altèrent la projection ? Il y a trois types de complications qui peuvent arriver à une projection d’entrelacs, localement dans un petit disque, le reste de l’entrelacs restant le même (Figure 10):

FIGURE 10. Les trois mouvements de REIDEMEISTER.

Dans les années vingt, BRIGGS et REIDEMEISTER ont démontré que les seules simplifications dont on avait besoin pour passer d’une projection particulière à n’importe quelle autre étaient décrites par trois mouvements. Avoir un invariant de nœud c’est donc avoir une fonction dont la valeur n’est pas modifiée par les accidents ci-dessus. Or on voit vite que, quelles que soient les orientations des brins, si les transformations II et III ne modifient pas l’entortillement, la première le modifie ! L’entortillement n’est donc pas un invariant de nœud !

Cependant, on peut réparer ces problèmes et obtenir de vrais invariants. Ce ne sont plus de simples nombres comme $w (K )$ , mais une collection de nombres, coefficients de polynômes en une ou deux variables ou de polynômes de LAURENT avec des exposants qui peuvent être négatifs.

Les héros de cette partie de l’histoire sont James Waddell ALEXANDER en 1923, John Horton CONWAY en 1969, Vaughan JONES en 1984 et Louis KAUFFMAN en 1987. Ils ont découvert, et d’autres à leur suite, par des moyens touchant à l’algèbre ou à la physique mathématique, des manières de construire des fonctions d’entrelacs complexes comme combinaisons de la même fonction mais sur des entrelacs plus simples : ce sont les relations d’écheveau. Parmi ces fonctions, certaines sont des invariants.

Le crochet de KAUFFMAN , par exemple, est défini par

sa valeur $= 1$ sur le nœud trivial,
$= (- a^2-a^{- 2 })$ et
la relation d’écheveau $<$ $> = a <$ $> + a^{-1} <$ $>$ .

Cette fonction n’est toujours pas un invariant, en effet, le nœud trivial d’entortillement $−1$ a comme crochet
$<$ $>=a<$ $> + a ^ {- 1} <$ $> = a + a ^ { -1} (- a ^ 2-a ^ {- 2}) = a-a-a ^ {- 3} = -a ^ {- 3} \not = 1$ !

Et à chaque fois qu’on tortille, on multiplie par ce facteur. De même, le nœud trivial d’entortillement $+1$ a pour crochet $(-a)^3$ . Mais finalement, quand on divise le crochet par $(-a)^{3w(K )}$ , on obtient un vrai invariant!

Dans l’encadré ci-dessous, nous calculons le crochet de KAUFFMAN du nœud de trèfle standard, d’entortillement $-3$ , les croisements supprimés successivement étant indiqués par une boule jaune.

$<$

$> = a<$

$> + a ^ {- 1}<$

$>$ où le premier nœud est le nœud trivial d’entortillement +2 tandis que le dernier est un entrelacs à deux composantes simples nouées qu’on appelle l’entrelacs de HOPF. Celui-ci vérifie
$<$

$>=<$

$>$
$=a<$

$>+a^{-1}<$

$>$ $=a<$

$>+a^{-1}<$

$>$
$=a(-a^3)+a^{-1}(-a^{-3})=-a^4-a^{-4}$
qu’on remplace ci-dessus pour donner
$<$

$> = a (- a ^ 3) ^ 2 + a ^ {- 1} (- a ^ 4-a ^ {- 4}) = a ^ 7-a ^ 3-a ^ {- 5}$ .
On aurait pu aussi appliquer trois fois les relations d’écheveau sans réfléchir pour obtenir $2 ^ 3 = 8$ termse. Comme le trèfle gauche a un entortillement de $−3$ , l’invariant associé est donc $(- a) ^ 9 (a ^ 7-a ^ 3-a ^ {-5}) = - a ^ {16} + a ^ {12} + a ^ 4$ . On peut montrer que c’est toujours un polynôme de LAURENT (on autorise les degrés négatifs) de degrés multiples de 4 et par le changement de variable $t = a^{−4}$ , on obtient le polynôme de Vaughan JONES de 1984.

Les mouvements de REIDEMEISTER et les mouvements d’écheveau s’expriment également sur les graphes qui les codent (Figure 11, où les arêtes gauches sont pleines, les arêtes droites en tireté).

FIGURE 11. Les mouvements de REIDEMEISTER sur le graphe.

Sur le graphe, les relations d’écheveau reviennent à effacer l’arête ou confondre les sommets, ce qu’on peut noter en barrant l’arête par un tiret, en travers pour le premier cas, ou en long dans le second. À la relation d’écheveau
$<$ $> = a <$ $> + a^{-1} <$ $>$
correspond ainsi pour le graphe la relation
$<$ $>= a<$ $>+ a ^ {- 1}<$ $>$ ,
chaque type d’arête barrée amenant un facteur $a$ ou $a^{-1}$ . En l’appliquant à toutes les arêtes, on se ramène à une réunion de nœuds triviaux disjoints dont le graphe se réduit à des sommets isolés affectés d’une puissance de $a$ comptabilisant les différents types d’arêtes barrées. L’encadré ci-après reprend le calcul du crochet de KAUFFMANN pour le graphe du nœud de trèfle:

$<$ $>=a<$ $>+a^{-1}<$ $>$ et en itérant, on arrive à $= a (<$ $> +<$ $> + <$ $>) + a ^ 3<$ $> + a ^ {- 1} (<$ $> + <$ $> + <$ $>) + a ^ {- 3} <$ $> = 3a + a ^ 3 + 3a ^ {- 1} + a ^ {- 3} = 3a + (a ^ 3 + 3a ^ {- 1}) (- a ^ 2-a ^ {- 2}) + a ^ {- 3} (- a ^ 2-a ^ {- 2}) ^ 2 = 3a- (a ^ 5 + a + 3 ^ a + 3a ^ {- 3}) + a + 2a ^ {- 3} + a ^ {- 7} = -a ^ 5-a ^ {- 3} + a ^ {- 7}.$
C’est en fait le crochet de KAUFFMAN du trèfle miroir du précédent, où les notions de gauche et droite sont inversées. Cette somme sur toutes les possibilités affectées d’un poids comptabilisant la contribution de chaque configuration locale s’appelle une fonction de partition en mécanique statistique.

Le polynôme de HOMFLY-PT² d’un nœud $K$ est un peu plus élaboré, il demande qu’on oriente le nœud et a besoin de deux variables, $P (x, y) (K)$ est ainsi défini par: $P (O) = 1$ et la relation d’écheveau $x P ($ $) - y P ($ $) = P ($ $)$ . Il a la grande qualité d’être compatible avec la composition des nœuds : la somme $K_1 \sharp K_2$ de deux nœuds s’obtient simplement en les ouvrant et en les recollant. Le polynôme de $K_1 \sharp K_2$ vérifie alors $P (x, y) (K_1 \sharp K_2) = P (x, y) (K_1) \times P (x, y) (K_2)$ . Tout comme un entier peut se dé- composer en un produit de facteurs premiers ( $12 = 2 ^ 2 \times 3$ ), les nœuds peuvent ainsi se décomposer de manière unique en nœuds premiers. C’était l’intution chimique de KELVIN et TAIT. La figure 12 reproduit la table des nœuds premiers jusqu’à sept croisements.

FIGURE 12. Une table des nœuds premiers jusqu’à 7 croisements

4. CONCLUSION

Les entrelacs sont d’abord apparus dans l’humanité comme des outils techniques, puis des manifestations de sa créativité artistique et ce n’est que bien des siècles après qu’ils sont devenus des objets d’attention pour les scientifiques, physiciens et mathématiciens. Le développement de la topologie et de ses outils propres a permis de progresser dans la compréhension de ces objets, d’identifier des invariants. Cependant, de nombreux problèmes restent ouverts et la recherche y est très active. Très récemment, en 2020, par exemple, une conjecture concernant sur un nœud fascinant (Figure 13) découvert par John CONWAY il y a 50 ans a été démontrée par la mathématicienne Lisa PICCIRILLO.³

FIGURE 13. Le nœud de CONWAY sur la porte du département de mathématiques de Cambridget (CC By SA Atoll).

Certes les espoirs initiaux de THOMPSON et TAITS ont été déçus car les hypothèses sur lesquels ils se fondaient se sont révélées erronées, mais les travaux sur les tresses ont aujourd’hui des applications variées, en biologie comme on peut s’y attendre mais aussi en robotique par exemple. La topologie n’est pas un objet d’enseignement dans le secondaire et ce n’est pas non plus le cas pour ce qui est des graphes pour beaucoup d’élèves mais les diverses expériences qui ont été menées sur les entrelacs dès l’enseignement primaire, en s’appuyant sur des ressources vidéos et autres, se sont révélées très motivantes et enrichissantes pour les élèves, leur permettant de mettre de façon inattendue des mathématiques à leur portée au service de leur regard sur le monde et de la création artistique. Le site entrelacs.net en témoigne. Pour les enseignants, avoir un aperçu des mathématiques sous-jacentes est important et c’est l’objet de cette vignette.

Le théorème de Jordan exprime que toute courbe simple et fermée du plan y délimite deux composantes connexes du plan, l’une bornée, l’autre non, dont elle est la frontière.
Pour HOSTE, OCNEANU, MILLET, FREYD, LICKORISH, YETTER et PRZYTYCKI, TRACZYK.
Lisa PICCIRILLO a démontré que ce nœud, qui possède la propriété d’avoir le même polynôme d’ALEXANDER-CONWAY que le nœud trivial (1), n’est pas bordant. Voir la vidéo de Mickaël LAUNAY[3] qui explique cette découverte de façon très accessible.

RÉFÉRENCES

A. Aubin. Nœuds sauvages imaginary.org.
L. H. Kauffman. Knots and Physics. 4th Ed, volume 53. Singapore: World Scientific, 4th ed. edition, 2013.
M. Launay. Une énigme de 50 ans résolue : Le nœud de Conway n’est pas bordant – micmaths.
C. Mercat. Celtic knotwork (english, french, german, spanish, italian, portuguese). http://www.entrelacs.net/.
C.Mercat.De beaux entrelacs, video AuDiMath, Images des Mathématiques. In A. Alvarez, editor, Destination Géométrie et Topologie Avec Thurston, Voyages En Mathématiques, pages 15–26. Le Pommier, 2013.
J.-P. Petit. Le Topologicon. Les Aventures d’Anselme Lanturlu. Belin, Savoir sans frontières edition, 1981.
L. Piccirillo. How you too can solve 50+ year old problems – talks at google.
D. Rolfsen. Knots and Links. 2nd Print. with Corr, volume7. Houston, TX: Publish or Perish, 2nd print. with corr. edition, 1990.
A. Sossinsky. Knots. Origins of a mathematical theory. Paris: Éditions du Seuil, 1999.

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ARTS ET MATHÉMATIQUES: NŒUDS ET ENTRELACS

Publié le mars 11, 2022 par admin

CHRISTIAN MERCAT ET MICHÈLE ARTIGUE

Les entrelacs ont été utilisés dans de nombreuses civilisations comme outils et ornements, des entrelacs épiques celtiques aux enluminures perses du Coran (Figure 2).

LA THÉORIE DES NŒUDS

This is why knot theory seeks to associate knots with quantities that these continuous deformations do not modify: invariants. For example, the polynomial of ALEXANDER is an invariant which associates a polynomial with integer coefficients to each type of knot. It was discovered by James Wadell ALEXANDER in 1923 and is the first invariant of this type. The ALEXANDER’s polynomial of the trefoil knot, for example, is: $t^2-t+1$ . But first let’s learn how to draw a link. We will then come back to this question of invariants.

Links, Knots, and Graphs

A link (or a braid if it is open) is a knot with several components. It is generally represented by its regular projection in a plane: Its threads are drawn crossing transversely and at most two by two: there are not three points of the knot which are projected on the same point of the plane, the strands at the crossings have different projected directions, and the crosses are finite in number. To describe the object that results from these different crossings and its structure is not obvious.

This abstract model neglects a certain number of parameters such as the color of the strands and their thickness. It is a planar graph: with vertices connected by edges, not necessarily rectilinear, which do not intersect and we will label them with a left / right chirality.

A regular projection of a link partitions the plane in different zones, delimited by the projection of the link itself. Where there are crossings, four zones meet locally. We can, according to JORDAN’s theorem,¹ color all areas in two colors, say black and white, such that these crosses resemble a chessboard (two opposite zones have the same color and two contiguous zones have a different color).

It suffices to decide that the infinite exterior zone is white, to choose a point inside and connect each zone by a path which crosses transversely the projection of the interlacing and avoids crossings (Figure 5).

Each time you go through a thread, you change color. We show that the result does not depend on the chosen starting point, nor on the detail of the path followed and that we always end up with a consistent coloring. The coloring indeed depends only on the parity of the number of strands crossed. We associate a vertex with each black zone and we connect them by an edge, drawn above each crossing, from a black area to its opposite. We then attach the corresponding label to encode whether it is the right strand or the left strand which, seen from a vertex, passes above. The coding is consistent: the opposite zone gives the same chirality (Figure 6).

Figure 7. Two dual graphs of the trefoil knot.

The trefoil knot is thus associated with a triangle where all edges have the same chirality, say left: it is an alternating link: when you follow a strand, it crosses alternately above, below, above … But this is not the only graph which codes this knot, there is also a graph with two vertices and three edges. They are not straight but curved and labeled right! (Figure 7).

These two graphs are what are called dual graphs. This coding by a planar graph allows the interlacing to be completely coded and it is much easier to describe. The complicated braid is in fact encoded by a graph that can be explained in one sentence, for example, “a triangular ladder from which a rung is removed every three” (Figure 8).

FIGURE 8. A triangular ladder missing one rung every three encodes the braid.

These graphs are evocative and Alexander GROTHENDIECK called a large class of (locally) planar graphs children’s drawings . After this phase of analysis, let’s proceed to the synthesis: draw the interlacing encoded by a graph. This is done in three steps shown from right to left in Figure 8:

Draw a cross in the middle of each edge. Any cross is in the middle of an edge.
Connect the strands to each other in a continuous path.
Decide the above/below.

In detail, a cross is drawn in pencil, inclined between 30 and 60° with the edge. This orientation is important for the next stage because we continue each small strand along the ridge in the direction where it points. We thus arrive at the next crossing and we connect to the strand that points in that direction. At this stage, we do not introduce any new crossing and the strands do not cross the edges except at crossings. A useful metaphor: imagine the edges like the walls of a labyrinth, which we follow and which we cannot cross, except at crossroads, where a door appears (Figure 9).

Figure 9. The metaphor of the labyrinth: edges are walls, the crossings are doors.

Finally, choosing a crossing, by aligning the edge that carries it with one’s gaze, identify which of the two strands comes from the right and which comes from the left. It allows you to replace the crossing by a “bridge” with a strand (say the left) passing above and the other (the right) below. We invite you now, before reading the rest, to draw up a small graph, of 5 or 6 edges, all of comparable lengths, angles not too sharp not too obtuse, and to develop the knot that it encodes. It suffices for this to play with planar graphs. The video http://video.math.cnrs.fr/entrelacs/ and the examples in [4, 5] can give you ideas.

3. Invariants

The first to take a serious interest in invariants was the young Carl Friedrich GAUSS at the beginning of the 19th century, describing the interlacing of two curves, $\gamma_1, \gamma_2$ , in space, calculated as an impressive though integer valued integral,

$\frac1{4\pi}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\vec{r_1}-\vec{r_2}}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}\cdot({d\vec{r_1}\times d\vec{r_2}})$

This number is not calculated here from the projection of the interlacing but remains the same when we deform the curves without intersecting. It seems understandable if we are convinced that the result is an integer: the formula depends continuously on each curve and can only jump one unit when there is a problem: when the denominator vanishes, that is, when both curves intersect. But we can calculate it much more easily using a projection, by orienting the strands and simply summing signs for each crossing between the two curves: +1 for and -1 for . When there is only one curve, this combinatorial sum defines a number, that we call the writhe $w(K)$ of the projection of the node $K$ . The right trefoil knot thus has a +3 writhe. But what becomes of $w(K)$ when incidents alter the projection? There are three types of complications which can occur in the projection of a knot. Let’s look locally in a small disc, the rest of the interlacing remaining the same as in Figure 10:

In the twenties, BRIGGS and REIDEMEISTER demonstrated that the only simplifications we needed to go from one particular projection to any other were described by these three movements. To have a knot invariant is therefore to have a function whose value is not modified by these moves. But we quickly see that, whatever the strand orientations, if transformations II and III do not modify the writhe, the first one modifies it! The number $w(K)$ is therefore not a knot invariant!

However we can fix these problems and get real invariants. They are not simple numbers, but a collection of numbers, coefficients of polynomials in one or two variables.

The heroes of this part of the story are James Waddell ALEXANDER in 1923, John Horton CONWAY in 1969, Vaughan JONES in 1984 and Louis KAUFFMAN in 1987. They discovered, and others after them, by means touching algebra or mathematical physics, ways of building complex links functions as combinations of the same function but on simpler links: these are the skein relations. Among these functions, some are invariants. There are different versions on the same theme. In the same way as for the movements of REIDEMEISTER, we modify locally a link inside a small ball, leaving the rest unchanged.

KAUFFMAN’s bracket is defined by

its value $<O> = 1$ on the trivial knot,
its value with an extra unknot $<K \cup O> = (- a^2-a^{- 2 }) <K>$ and
the skein relation $<$ $> = a <$ $> + a^{-1} <$ $>$ .

It suffers from the same problem as the writhe: the trivial knot’s bracket with writhe $-1$ is
$<$

$>=a<$

$> + a ^ {- 1} <$

$> = a + a ^ { -1} (- a ^ 2-a ^ {- 2}) = a-a-a ^ {- 3} = -a ^ {- 3} \not = 1$ !

And every time we writhe, we multiply the result by that factor. Therefore, when we multiply by $(- a) ^ {3w (K)}$ , we get a true invariant! In the box below we calculate the KAUFMANN’s bracket of the standard trefoil knot of writhe $-3$ . The crossings that are to be split are indicated by yellow discs.

$<$

$> = a<$

$> + a ^ {- 1}<$

$>$ where the first knot is the trivial twist knot of writhe 2 while the last is a link with two simple knotted components which is called the HOPF link. It satisfies
$<$

$>=<$

$>$
$=a<$

$>+a^{-1}<$

$>$ $=a<$

$>+a^{-1}<$

$>$
$=a(-a^3)+a^{-1}(-a^{-3})=-a^4-a^{-4}$
that we replace above to yield
$<$

$> = a (- a ^ 3) ^ 2 + a ^ {- 1} (- a ^ 4-a ^ {- 4}) = a ^ 7-a ^ 3-a ^ {- 5}$ .
We could also have applied three times the skein relations without thinking to obtain $2 ^ 3 = 8$ terms. As the left trefoil has a twist of $-3$ , the associated invariant is therefore $(- a) ^ 9 (a ^ 7-a ^ 3-a ^ {-5}) = - a ^ {16} + a ^ {12} + a ^ 4$ . We can show that it is always a LAURENT polynomial (we allow negative degrees) of degree a multiple of 4 and by the change of variable $t = a^{−4}$ we obtain the JONES polynomial of 1984.

REIDEMEISTER moves and skein movements are also expressed on the graphs which code them (Figure 11 drawing in solid left edges, and in dashed right edges).

Figure 11. REIDEMEISTER’s moves on the graph.

On the graph, the skein relations amount to erasing the edge or fusing the vertices, which can be noted by crossing out the edge, respectively across or along. To the skein relation
$<$ $> = a <$ $> + a^{-1} <$ $>$
corresponds
$<$ $>= a<$ $>+ a ^ {- 1}<$ $>$ ,
each type of wall bringing a factor $a$ or $a ^ {- 1}$ . In applying the relation on all the edges we end up with a disjoint union of trivial knots. Thus, the computation of KAUFMANN’s bracket of the trefoil can also be written:

$<$

$>=a<$

$>+a^{-1}<$

$>$ and iterating, it yields $= a (<$

$> +<$

$> + <$

$>) + a ^ 3<$

$> + a ^ {- 1} (<$

$> + <$

$>) + a ^ {- 3} <$

$> = 3a <O> + a ^ 3 <OO> + 3a ^ {- 1} <OO> + a ^ {- 3} <OOO> = 3a + (a ^ 3 + 3a ^ {- 1}) (- a ^ 2-a ^ {- 2}) + a ^ {- 3} (- a ^ 2-a ^ {- 2}) ^ 2 = 3a- (a ^ 5 + a + 3 ^ a + 3a ^ {- 3}) + a + 2a ^ {- 3} + a ^ {- 7} = -a ^ 5-a ^ {- 3} + a ^ {- 7}.$
It is actually the KAUFFMAN’s bracket of the mirror trefoil.
This sum on all the possible contributions of local configurations is called a partition function in statistical mechanics.

The HOMFLY-PT polynomial² of a knot $K$ is a little more elaborate, it requires that we orient the knot and needs two variables; $P (x, y) (K)$ is thus defined by: $P (O) = 1$ and the skein relation $x P ($ $) - y P ($ $) = P ($ $)$ . It has the big advantage of being compatible with the COMPOSITION of knots: the sum $K_1 \sharp K_2$ of two knots is obtained simply by opening them and gluing them back together. The polynomial of $K_1 \sharp K_2$ then satisfies $P (x, y) (K_1 \sharp K_2) = P (x, y) (K_1) \times P (x, y) (K_2)$ . Just as any integer can be decomposed as factors of prime numbers ( $12 = 2 ^ 2 \times 3$ ), knots can uniquely decompose into prime knots. It was the chemical intuition of KELVIN and TAIT. Figure lists the first prime knots with up to seven crossings;

FIGURE 12. The table of prime knots up to 7 crossings.

4. Conclusion

Interlacing first appeared in mankind as a technical tool, then as a manifestation of his artistic creativity, and then many centuries after, as objects of attention for scientists, physicists and mathematicians. The development of topology and its own tools made it possible to progress in the understanding of these objects, to identify invariants. However, many issues remain open and the research is very active there. Very recently, in 2020, for example, a conjecture concerning a fascinating knot (Figure 13) discovered by John CONWAY 50 years ago has been proved by the mathematician Lisa PICCIRILLO: she proves that this knot, which possesses the same ALEXANDER-CONWAY’s polynomial as the unknot, is not a slice knot [7].

FIGURE 13. The CONWAY knot on the door of the Cambridge Mathematics Department (CC By SA Atoll).

Certainly the initial hopes of THOMPSON and TAITS were betrayed because the assumptions on which they were based were proved to be wrong, but work on knots and braids has now various applications, in biology as one would expect, but also in robotics for example. Topology is not an object of secondary education and this is also not the case for graphs for many students, but the various experiments that were carried out on drawing knots in elementary school, proved to be very motivating and enriching for the students, allowing them to unexpectedly put mathematics to their service when gazing on the world and artistic creations. The entrelacs.net site bears witness to this. For the teacher’s perspective, gaining insight into the underlying mathematics is as well important and that’s the subject of this vignette.

JORDAN’s theorem expresses that any simple and closed curve of the plane delimits two connected components of the plane, one limited, the other not.
Standing for HOSTE, OCNEANU, MILLET, FREYD, LICKORISH, YETTER and PRZYTYCKI, TRACZYK.

References

A. Aubin. Nœuds sauvages imaginary.org.
L. H. Kauffman. Knots and Physics. 4th Ed, volume 53. Singapore: World Scientific, 4th ed. edition, 2013.
M. Launay. Une énigme de 50 ans résolue : Le nœud de Conway n’est pas bordant – micmaths.
C. Mercat. Celtic knotwork (english, french, german, spanish, italian, portuguese). http://www.entrelacs.net/.
C.Mercat.De beaux entrelacs, video AuDiMath, Images des Mathématiques. In A. Alvarez, editor, Destination Géométrie et Topologie Avec Thurston, Voyages En Mathématiques, pages 15–26. Le Pommier, 2013.
J.-P. Petit. Le Topologicon. Les Aventures d’Anselme Lanturlu. Belin, Savoir sans frontières edition, 1981.
L. Piccirillo. How you too can solve 50+ year old problems – talks at google.
D. Rolfsen. Knots and Links. 2nd Print. with Corr, volume7. Houston, TX: Publish or Perish, 2nd print. with corr. edition, 1990.
A. Sossinsky. Knots. Origins of a mathematical theory. Paris: Éditions du Seuil, 1999.

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Book of the month: Felix Klein – Visions for mathematics, applications and teaching

Publié le février 7, 2022 par admin

Renate Tobies is a renowned historian of mathematics and natural sciences. As a profound researcher, she has been studying Felix Klein and his works for decades. As a quintessence of these studies, she has now presented a book on Felix Klein that can be considered the most comprehensive and scientifically in-depth biography, which also offers new insights into his life and work. However, this book sheds light not only on Klein’s life and mathematical work, but also on his commitment to reforms in mathematics education and other fields.

This book has only been published in German so far.
Link to the book: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-58749-2

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Book of the month: Étienne Ghys, La petite histoire des flocons de neige

Publié le mai 17, 2021 par admin

Vu de près, un flocon révèle toutes sortes de splendeurs: une merveille de géométrie et de symétrie. En 1610, le grand astronome Johannes Kepler en fut étonné et voulut expliquer pourquoi les flocons ont six branches.

Étienne Ghys s’est à son tour pris de passion pour les flocons de neige. Dans ce livre aux magnifiques images, il nous conte l’histoire de la science de la neige.

On y rencontre en chemin des personnages pittoresques et savants,un archevêque suédois, un philosophe français et un scientifique anglais, d’autres hollandais, américains, japonais, sans oublier « une Lady » et un pêcheur de baleines.

Peu à peu, on apprend que la forme des cristaux est liée à la température et à l’humidité du lieu de leur formation. Qu’en observant un flocon, on peut connaître l’état de l’atmosphère qui nous surplombe…Étienne Ghys, avec son talent d’écriture inégalé, nous fait découvrir toute une science. Le ton est chaleureux, le récit nous entraîne. On parvient jusqu’aux marches de la science la plus moderne et on aperçoit, par des illustrations très simples, l’horizon mathématique de la cristallographie.

Un formidable voyage initiatique, pour tous les âges. Un livre où se mêlent la poésie et la science. Un livre à la portée de chacun.

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Book of the month: Étienne Ghys, La petite histoire des flocons de neige.

Publié le mai 17, 2021 par admin

Seen up close, a snowflake reveals all sorts of splendors: a marvel of geometry and symmetry. In 1610, the great astronomer Johannes Kepler was astonished and wanted to explain why snowflakes have six branches.

Etienne Ghys has in turn become fascinated by snowflakes. In this book with magnificent images, he tells us the story of the science of snow. Along the way, we meet some picturesque and learned characters, a Swedish archbishop, a French philosopher and an English scientist, others Dutch, American, Japanese, without forgetting “a Lady” and a whale fisherman.

Little by little, we learn that the shape of crystals is linked to the temperature and humidity of the place where they are formed. That by observing a flake, we can know the state of the atmosphere which overhangs us…

Etienne Ghys, with his unequalled talent for writing, makes us discover a whole science. The tone is warm, the story leads us. We reach the steps of the most modern science and we see, by very simple illustrations, the mathematical horizon of crystallography.A wonderful initiatory journey, for all ages. A book where poetry and science are mixed. A book for everyone.

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From synthetic geometry to dynamic geometry and back: the case of circular inversion

Publié le octobre 22, 2020 par admin

by Giulia Signorini, Michele Tocchet, both from “Liceo Filippo Buonarroti” in Pisa, and Anna Baccaglini-Frank, University of Pisa.

In 1871 Felix Klein published two papers, called “On the so-called non-Euclidean geometry”, in which he proposed to call the first type of geometry “elliptic geometry” (from the Greek ellipsis, that means omission) and the second type “hyperbolic geometry” (form the Greek hyperbola, that means excessive). A good model for elliptic geometry is the sphere.

Circle inversion provides an interesting example of geometric transformation that, unlike the affinities and isometries studied in high school, usually does not transform lines into lines (but into circles) and that can be presented in an elementary way since its properties can be explored with dynamic geometry software and easily proved in synthetic geometry. Indeed, some high school textbooks introduce circle inversion as an interesting topic of Euclidean geometry that can also be explored through dynamic geometry software.

Take a look at the GeoGebra geometry!

View the full vignette or download Download

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Site of the Month October: The German Imaginary-Project

Publié le octobre 20, 2020 par admin

The Site of the month October ist The German Imaginary-Project.

IMAGINARY offers a platform for open and interactive mathematics with a variety of content that can be used in schools, at home, in museums, at exhibitions or for events and media activities. The main contents of IMAGINARY are its interactive programs and its picture galleries.
IMAGINARY was initiated at the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (MFO), an institute of the Leibniz Association. The MFO is a shareholder of IMAGINARY.

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Site of the Month September: The Global Math Project

Publié le octobre 20, 2020 par admin

The site of the month September ist The Global Math Project.

The Global Math Project is a worldwide movement committed to inspiring educators everywhere to ignite and sustain in their students a love for learning mathematics. The ultimate goal of the Global Math Project is demonstrating, in a genuine and direct way, that classroom mathematics can and does, in and of itself, serve as a portal to a genuine, meaningful, and connected human experience. They want especially to prove that curriculum-relevant mathematics is uplifting for the mind and for the heart.

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Klein Project Blog

Der Satz vom Igel

A Regular Heptadecagon is Constructible

ARTS ET MATHÉMATIQUES: NŒUDS ET ENTRELACS

CHRISTIAN MERCAT ET MICHÈLE ARTIGUE

1. LA THÉORIE DES NŒUDS

2. ENTRELACS ET GRAPHES

3. INVARIANTS

4. CONCLUSION

RÉFÉRENCES

ARTS ET MATHÉMATIQUES: NŒUDS ET ENTRELACS

CHRISTIAN MERCAT ET MICHÈLE ARTIGUE

LA THÉORIE DES NŒUDS

Links, Knots, and Graphs

3. Invariants

4. Conclusion

References

Book of the month: Felix Klein – Visions for mathematics, applications and teaching

Book of the month: Étienne Ghys, La petite histoire des flocons de neige

Book of the month: Étienne Ghys, La petite histoire des flocons de neige.

From synthetic geometry to dynamic geometry and back: the case of circular inversion

Site of the Month October: The German Imaginary-Project

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